Question

Как вот это вот непонятное решение решить? (x+3)в квадрате -2x(x-4)<или =49

Answer 1

(x+3)²-2x(x-4)=x²+6x+9-2x²+8x=-x²+14x+9≤49   -x²+14x-40≤0
x²-14x+40≥0   D=196-160=36  √D=6
x1=0.5[14+6]=10    x2=0.5[14-6]=4

-------------------- 4----------------10----------------
        +                            -                    +

x∈(-∞;4]∪[10;∞)

Answer 2

Конечно, давайте решим неравенство:

\((x + 3)^2 - 2x(x - 4) \leq 49\)

1. Раскроем скобки:

\((x + 3)(x + 3) - 2x(x - 4) \leq 49\)

\(x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 8x \leq 49\)

2. Сгруппируем похожие члены:

\(-x^2 + 14x + 9 \leq 49\)

3. Переносим 49 на другую сторону:

\(-x^2 + 14x - 40 \leq 0\)

4. Умножим обе стороны на -1, чтобы изменить знак неравенства:

\(x^2 - 14x + 40 \geq 0\)

5. Теперь решим квадратное уравнение:

\(x^2 - 14x + 40 = 0\)

Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

где \(a = 1\), \(b = -14\), и \(c = 40\).

\(\Delta = (-14)^2 - 4(1)(40) = 196 - 160 = 36\)

Так как дискриминант положителен (\(\Delta > 0\)), у уравнения два корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = 7 + 3 = 10\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = 7 - 3 = 4\)

Теперь у нас есть два корня, 4 и 10. Эти точки делят ось \(x\) на три интервала: \((-\infty, 4)\), \([4, 10]\) и \((10, \infty)\).

6. Определим знак выражения \(x^2 - 14x + 40\) на каждом из этих интервалов:

- Подставим значение \(x = 0\) (любое число меньше 4) в выражение: \(40 > 0\), значит, выражение положительно на интервале \((-\infty, 4)\). - Подставим значение \(x = 7\) (любое число между 4 и 10) в выражение: \(9 > 0\), значит, выражение положительно на интервале \([4, 10]\). - Подставим значение \(x = 11\) (любое число больше 10) в выражение: \(9 > 0\), значит, выражение также положительно на интервале \((10, \infty)\).

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 14x + 40 \geq 0\) является объединение интервалов, на которых выражение положительно:

\[x \in (-\infty, 4] \cup [10, \infty)\]

Это и есть ответ на исходное неравенство \((x + 3)^2 - 2x(x - 4) \leq 49\).