Question

Решить уравнение:(3x-5)^4=81

Answer 1

$(3x-5)^{4}=81 \\ 3^{4}=81 \\ 3x-5=3 \\ 3x=8 \\ x= 2\frac{2}{3}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение (3x-5)^4 = 81, нужно следовать следующим шагам:

1. Используя свойство корня возведения в степень, можно записать уравнение в следующем виде: (3x-5)^4 = (3x-5)(3x-5)(3x-5)(3x-5) = 81.

2. Раскрыв скобки в левой части уравнения получим: (3x-5)(3x-5)(3x-5)(3x-5) = 81.

3. Упрощаем выражение: (9x^2 - 30x + 25)(9x^2 - 30x + 25) = 81.

4. Рассмотрим полученное уравнение как квадратное уравнение относительно переменной (9x^2 - 30x + 25).

5. Решим квадратное уравнение (9x^2 - 30x + 25) = ±√81.

6. Разложим 81 на простые множители: 81 = 3 * 3 * 3 * 3.

7. Заменяем √81 на ±3 * 3 = ±9.

8. Исходное квадратное уравнение принимает вид (9x^2 - 30x + 25) = 9 и (9x^2 - 30x + 25) = -9.

9. Решим оба квадратных уравнения:

a) (9x^2 - 30x + 25) - 9 = 0: 9x^2 - 30x + 16 = 0. b) (9x^2 - 30x + 25) + 9 = 0: 9x^2 - 30x + 34 = 0.

10. Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: x = (-b ± √D) / 2a, где a, b и c - коэффициенты в квадратном уравнении ax^2 + bx + c = 0, а D - дискриминант.

11. Найдем дискриминант D для каждого из двух уравнений:

a) Для уравнения 9x^2 - 30x + 16 = 0: D = (-30)^2 - 4 * 9 * 16 = 900 - 576 = 324. b) Для уравнения 9x^2 - 30x + 34 = 0: D = (-30)^2 - 4 * 9 * 34 = 900 - 1224 = -324. 12. Рассмотрим значения дискриминанта и далее решим каждое из уравнений:

a) Для D > 0: x1 = (-(-30) + √324) / (2 * 9) = (30 + 18) / 18 = 48 / 18 = 8/3. x2 = (-(-30) - √324) / (2 * 9) = (30 - 18) / 18 = 12 / 18 = 2/3. Итак, первое уравнение имеет два корня: x1 = 8/3 и x2 = 2/3. b) Для D < 0: Уравнение не имеет действительных корней, так как значение D является отрицательным числом. 13. Проверяем полученные значения корней, подставляя их в оригинальное уравнение:

a) При x = 8/3: (3 * (8/3) - 5)^4 = (24/3 - 5)^4 = (8 - 5)^4 = 3^4 = 81. Проверка пройдена.

b) При x = 2/3: (3 * (2/3) - 5)^4 = (6/3 - 5)^4 = (2 - 5)^4 = (-3)^4 = 81. Проверка пройдена.

14. Ответ: уравнение (3x-5)^4=81 имеет два корня: x1 = 8/3 и x2 = 2/3.