Question

1)log3(3x-1)<log3(2x+3)2)log5(3x-2)>log5(x+6)3)log1/9(4x-3)>=log1/9(x+3) 4) 2-lg^2x>=lgx

Answer 1

1) log3 (3x-1)< log3 (2x+3)

OOH(область определения неравенства): 3x-1>0;   3x>1;     x>1/3

                                                                                2x+3>0;   2x>-3;   x>-3/2

3x-1<2x+3

x<4

(x<4, x>1/3) - система

Ответ: 1/3<x<4

второе точно так же

3)  log1/9 (4x-3)>=log1/9 (x+3)

OOH: 4x-3>0;  4x>3;  x>3/4

           x+3>0;  x>-3

4x-3<=x+3

3x<=6

x<=2

(x<=2, x>3/4)- система

Ответ: 3/4<x<2

4) 2-lg^2x>=lgx

lg^2x+lgx-2>=0

lgx=t  -замена

t^2+t-2=0

t1,2=(-1+-корень из(1+4*2))/2=(-1+-3)/2

t1=1,  t2=-2

lgx=1; x=10

lgx=-2; x=10^-2;  x=1/100

нужно решить интервалами, получается:

Ответ: 1/100<=x<=10

Answer 2

Давайте решим каждое из уравнений по отдельности.

1) \( \log_3(3x - 1) < \log_3(2x + 3) \)

Для начала, предположим, что \( 3x - 1 > 0 \) и \( 2x + 3 > 0 \), так как логарифм отрицательного числа не определен.

Перепишем уравнение без логарифмов:

\[ 3x - 1 < 2x + 3 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x < 4 \]

Так как \( 3x - 1 > 0 \), условие \( x < 4 \) остается в силе.

2) \( \log_5(3x - 2) > \log_5(x + 6) \)

Предполагаем, что \( 3x - 2 > 0 \) и \( x + 6 > 0 \).

Перепишем уравнение без логарифмов:

\[ 3x - 2 > x + 6 \]

Теперь решим это неравенство:

\[ 2x > 8 \]

\[ x > 4 \]

Так как \( 3x - 2 > 0 \), условие \( x > 4 \) остается в силе.

3) \( \log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) \geq \log_{\frac{1}{9}}(x + 3) + 4 + \lg^2x \)

Для начала, предположим, что \( 4x - 3 > 0 \) и \( x + 3 > 0 \).

Перепишем уравнение без логарифмов:

\[ 4x - 3 \geq (x + 3) \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^4 \cdot 10^{\lg^2x} \]

\[ 4x - 3 \geq \frac{(x + 3)}{65610} \cdot 10^{\lg^2x} \]

Теперь решим это уравнение, учитывая, что \( x > 0 \):

\[ 4x - 3 \geq \frac{x + 3}{65610} \cdot 10^{\lg^2x} \]

\[ 262440x - 196830 \geq x + 3 \cdot 10^{\lg^2x} \]

\[ 262439x \geq 196833 + 3 \cdot 10^{\lg^2x} \]

\[ x \geq \frac{196833 + 3 \cdot 10^{\lg^2x}}{262439} \]

Это более сложное уравнение, и его решение зависит от конкретного значения \( x \). Однако, учитывая, что \( x > 0 \), вы можете использовать численные методы, такие как итерации или методы оптимизации, чтобы найти приближенное значение \( x \).

Убедитесь, что ваши предположения о допустимых значениях \( x \) соблюдаются при решении каждого уравнения.