Question

Cos6x=cos4x сколько корней принадлежит отрезку [-pi; pi/6]

Answer 1

Cos(6x) - cos(4x) = 0,
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b);
cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
cos(a+b) - cos(a-b) = (-2)*sin(a)*sin(b);
a+b = 6x;
a-b = 4x;
2a = 10x; a=5x;
2b = 2x; b=x;
cos(6x) - cos(4x) = (-2)*sin(5x)*sin(x) = 0;
sin(5x)*sin(x) = 0;
1) sin(5x) = 0; или 2) sin(x)=0;
1) 5x = п*m, где m целое; x1= п*m/5;
2) x2 = п*n, где n целое.
Покажем, что множество решений 2) является подмножеством решений 1). Имеем: п*m/5 = п*n, <=> m/5 = n, <=> m=5n.
Таким образом, когда m кратном 5 получаем, что совпадение множеств решений.
Ответ. x = п*m/5.

Answer 2

Для начала, мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Заменим cos(4x) в уравнении на cos(2x):

cos(6x) = cos(4x) cos(6x) = 2cos^2(2x) - 1

Теперь заменим cos(2x) в выражении на cos(x):

cos(6x) = 2cos^2(x) - 1

Уравнение стало простым:

2cos^2(x) - 1 = cos(x)

Перепишем это уравнение в виде:

2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Разложим его на множители:

(2cos(x) + 1)(cos(x) - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения:

2cos(x) + 1 = 0 и cos(x) - 1 = 0

Решим первое уравнение:

2cos(x) = -1 cos(x) = -1/2

Используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор, мы находим два значения для x на отрезке [-pi; pi/6], которые удовлетворяют условию: x = -pi/3 и x = pi/3.

Теперь решим второе уравнение:

cos(x) = 1

Из таблицы значений тригонометрических функций или калькулятора мы находим одно значение для x на отрезке [-pi; pi/6], которое удовлетворяет условию: x = 0.

Таким образом, уравнение cos(6x) = cos(4x) имеет три корня на отрезке [-pi; pi/6]: x = -pi/3, x = pi/3 и x = 0.