Question

АЛГЕБРА ИЗИ ЗАДАЧКА НА 100 БАЛЛОВ, ПРОСТО СРОЧНЯК) y=8-х³, у= 0, х = -1 Нужно найти площадь фигуры)

Answer 1

Если всё это нарисовать, то будет видно, что площадь этой фигуры - по сути интеграл фигуры под графиком первой функции до точек пересечения со второй и третьей.
Сначала найдём на всякий случай эти точки:
1. 8-x^3=0
8 = x^3
x = 2
Первая точка - {2; 0}
2. у(-1) = 8 - (-1)^3 = 8 + 1 = 9
Вторая точка (-1; 9).
Теперь берём определённый интеграл первой функции на интервале [-1; 2]. Неопределённый интеграл будет равен:
8x - 1/4 x^4 + C
Подставляя границы, получаем:
S = (8*2 - 1/4*(2^4)) - (8*(-1) - 1/4*((-1)^4)) = (16 - 4) - (-8 + 1/4) = 19 3/4
Вроде бы так

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, которую задает уравнение y = 8 - х³, нужно сначала найти точки пересечения этой кривой с осью OX.

Подставим y = 0 в уравнение: 0 = 8 - х³

Перенесем 8 на другую сторону: х³ = 8

Извлекаем кубический корень: х = ∛8

х = 2

То есть фигура пересекает ось OX в точке (2,0).

Теперь найдем площадь фигуры между кривой и осью OX. Для этого посчитаем интеграл от y = 0 до y = 8 - х³ по переменной x. Обозначим эту площадь как S.

S = ∫[0,8-х³]dx

Интегрируем это выражение: S = ∫[0,2](8-х³)dx

Раскроем скобки: S = ∫[0,2]8dx - ∫[0,2]х³dx

Первый интеграл: ∫[0,2]8dx = 8∫[0,2]dx = 8(x)|[0,2] = 8(2-0) = 16

Второй интеграл: ∫[0,2]х³dx = ∫[0,2]x³dx = (x⁴/4)|[0,2] = (2⁴/4) - (0⁴/4) = 16/4 = 4

Итого: S = 16 - 4 = 12

Получается, площадь фигуры, ограниченной кривой y = 8 - х³ и осью OX на отрезке от x = 0 до x = 2, равна 12.