Question

Решите системы логарифмических уравнений 1)lg x+lg y=lg 2 x2+y2=5 2) log3(xy)=2+log3 2 log3(x+y)=2 подробное решение пожалуста

Answer 1

Первое уравнение пропотенцируем и система упростится:
ху=2 | *2                2xy = 4
х^2 + y^2 =5        x^2 +y^2 = 5 Сложим эти два уравнения. Получим: x^2 +2xy + y^2= 9  или  (x + y)^2=9
а) x + y = 3                            или      х+у = -3
х = 3-у                                                x = - y - 3
ху = 2                                                  xy = 2
у(3-у) = 2                                              y(-y-3)=2
3у -у^2 = 2                                           -y^2-3y = 2
y^2 -3y +2 = 0                                       y^2 +3y +2=0
y1= 2,  y2 = 1                                        y1 = -2, y2 = -1
x1= 3-y=1                                               x1 = -y -3= 2 -3 = -1
x2=3-y=2                                               x2 = -y -3 = 1 - 3 = -2
 Ответ:(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)  

Answer 2

1) Решим первую систему уравнений: lg(x) + lg(y) = lg(2) (уравнение 1) x^2 + y^2 = 5 (уравнение 2)

Из уравнения 1, используя свойство логарифма lg(a) + lg(b) = lg(ab), получаем: lg(xy) = lg(2)

Таким образом, xy = 2.

Теперь возводим уравнение 2 в квадрат: (x^2 + y^2)^2 = 25

Раскрываем скобки: x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 25

Подставляем xy = 2: x^4 + 2(2^2) + y^4 = 25 x^4 + 4 + y^4 = 25 x^4 + y^4 = 21 (уравнение 3)

Теперь мы имеем систему уравнений: xy = 2 (уравнение 4) x^4 + y^4 = 21 (уравнение 3)

2) Решим вторую систему уравнений: log3(xy) = 2 log3(x+y) = 2

Из уравнения 1, используя свойство логарифма log(a) + log(b) = log(ab), получаем: log3(xy) = log3(2)

Таким образом, xy = 2.

Из уравнения 2: log3(x+y) = 2

Возводим оба уравнения в степень 3: (xy)^3 = 2^3 x^3y^3 = 8 (уравнение 5)

(x+y)^3 = 3^3 x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 27 (уравнение 6)

Подставляем xy = 2 в уравнение 6: x^3 + 6x^2 + 12 + y^3 = 27 x^3 + y^3 = 15 (уравнение 7)

Теперь мы имеем систему уравнений: xy = 2 (уравнение 5) x^3 + y^3 = 15 (уравнение 7)

Теперь решим обе системы уравнений:

1) Решение первой системы: Мы уже знаем, что xy = 2. Подставляем это значение в уравнение 3: x^4 + y^4 = 21

Подставляем xy = 2 в уравнение 4: x^4 + 4 + y^4 = 25 x^4 + y^4 = 21

Таким образом, решение первой системы уравнений: x = 2, y = 1 (или наоборот: x = 1, y = 2).

2) Решение второй системы: Мы уже знаем, что xy = 2. Подставляем это значение в уравнение 7: x^3 + y^3 = 15

Подставляем xy = 2 в уравнение 5: x^3y^3 = 8 (x^3)^2 = 8 x^3 = 2

Таким образом, решение второй системы уравнений: x = ∛2, y = ∛2.

Итак, решение первой системы уравнений: x = 2, y = 1 (или наоборот: x = 1, y = 2). Решение второй системы уравнений: x = ∛2, y = ∛2.