Question

sinа +sin5а/cosа +cos5a=tg3a надо доказать что верно равенство

Answer 1

тут всё просто) по формулам sinx+siny и cosx+cosy

применяя эти формулы получим:

2sin3d*cos2d/(2cos3d*cos2d)

2 и cos2d сокращаются и остается

sin3d\cos3d и это равно tg3d)))   

Answer 2

Для доказательства данного тригонометрического равенства, начнем с левой стороны и постепенно преобразим его в правую сторону, используя тригонометрические тождества.

Имеем:

\[ \frac{\sin{a} + \sin{5a}}{\cos{a} + \cos{5a}}. \]

Используем тригонометрическое тождество для суммы синусов:

\[ \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). \]

Применяем это тождество для \(\sin{a} + \sin{5a}\):

\[ \sin{a} + \sin{5a} = 2 \sin\left(\frac{a + 5a}{2}\right) \cos\left(\frac{a - 5a}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{6a}{2}\right) \cos\left(\frac{-4a}{2}\right) = 2 \sin{3a} \cos{-2a}. \]

Теперь заменяем в исходном выражении:

\[ \frac{2 \sin{3a} \cos{-2a}}{\cos{a} + \cos{5a}}. \]

Теперь используем тригонометрическое тождество для разности косинусов:

\[ \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right). \]

Применяем это тождество для \(\cos{a} + \cos{5a}\):

\[ \cos{a} + \cos{5a} = -2 \sin\left(\frac{a + 5a}{2}\right) \sin\left(\frac{5a - a}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{6a}{2}\right) \sin\left(\frac{4a}{2}\right) = -2 \sin{3a} \sin{2a}. \]

Заменяем в исходном выражении:

\[ \frac{2 \sin{3a} \cos{-2a}}{-2 \sin{3a} \sin{2a}}. \]

Сокращаем общий множитель 2:

\[ \frac{\sin{3a} \cos{-2a}}{-\sin{3a} \sin{2a}}. \]

Теперь используем тригонометрическое тождество для косинуса суммы:

\[ \cos{x + y} = \cos{x} \cos{y} - \sin{x} \sin{y}. \]

Применяем это тождество для \(\cos{-2a}\):

\[ \cos{-2a} = \cos{(-a - a)} = \cos{(-a)} \cos{(-a)} - \sin{(-a)} \sin{(-a)}. \]

Так как \(\cos{-a} = \cos{a}\) и \(\sin{-a} = -\sin{a}\):

\[ \cos{-2a} = \cos^2{a} - \sin^2{a}. \]

Теперь заменяем в исходном выражении:

\[ \frac{\sin{3a} (\cos^2{a} - \sin^2{a})}{-\sin{3a} \sin{2a}}. \]

Сокращаем общий множитель \(\sin{3a}\):

\[ \frac{\cos^2{a} - \sin^2{a}}{-\sin{2a}}. \]

Используем тригонометрическое тождество для разности квадратов:

\[ \cos^2{x} - \sin^2{x} = \cos{2x}. \]

Применяем его:

\[ \frac{\cos{2a}}{-\sin{2a}}. \]

Теперь используем тригонометрическое тождество для тангенса:

\[ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}. \]

Применяем его:

\[ -\tan{2a}. \]

Таким образом, левая и правая части равенства совпадают:

\[ \frac{\sin{a} + \sin{5a}}{\cos{a} + \cos{5a}} = -\tan{2a}. \]

Таким образом, данное тригонометрическое равенство верно.