Question

Найти площадь фигуры ограниченную линией у=х2-4х+5 и прямой у=5-х

Answer 1

Найдем границы определенного интеграла, т.е. точки пересечения графиков функции:
x^2 - 4x + 5 = 5 - x; x^2 - 3x = 0; x1=0; x2=3;
Найдем подинтегральную функцию: 5-x -x^2 + 4x - 5 = -x^2 + 4x
$-\int\limits^3_0 {x^2 - 3x} \, dx = - \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}|_0^3 = -9 + 13.5 = 4.5$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \(y = x^2 - 4x + 5\) и \(y = 5 - x\), нужно определить точки их пересечения и затем воспользоваться определенным интегралом для вычисления площади.

1. Начнем с нахождения точек пересечения кривых. Для этого приравняем выражения \(y\) обеих кривых друг к другу: \[x^2 - 4x + 5 = 5 - x\]

2. Преобразуем уравнение и решим его относительно \(x\): \[x^2 - 3x = 0\]

3. Факторизуем выражение: \[x(x - 3) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 3\).

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).

4. Теперь нужно найти соответствующие значения \(y\) для каждой из точек пересечения, подставив их в уравнение кривой. Для первой точки (\(x = 0\)): \[y_1 = 5\]

Для второй точки (\(x = 3\)): \[y_2 = 5 - 3 = 2\]

Теперь у нас есть две точки пересечения: \(A(0, 5)\) и \(B(3, 2)\).

5. Чтобы найти площадь фигуры между кривыми, нужно взять интеграл разности их уравнений по переменной \(x\) на интервале \([0, 3]\): \[S = \int_{0}^{3} [(x^2 - 4x + 5) - (5 - x)] \,dx\]

6. Вычислим этот интеграл: \[S = \int_{0}^{3} (x^2 - 3x + 5) \,dx\]

Интегрируя по \(x\), получаем: \[S = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5x\right]_{0}^{3}\]

Подставим верхний и нижний пределы: \[S = \left[\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 5(3)\right] - \left[\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 5(0)\right]\]

Упростим: \[S = \left[9 - \frac{27}{2} + 15\right] - 0\]

\[S = \frac{18}{2} = 9\]

Итак, площадь фигуры между кривыми равна 9 квадратным единицам.