Question

Докажите тождество:1)cos^4t-sin^4t=cos2t2)cos^4t+sin^4t=1-(1/2)sin^2 * 2t

Answer 1

1+ (cos^4t+sin^2tcos^2t)/sin^2t=1/sin^2t 1+ cos^2t(cos^2t+sin^2t)/sin^2t=1/sin^2t 1+ cos^2t/sin^2t=1/sin^2t (cos^2t+sin^2t)/sin^2t =1/sin^2t 1/sin^2t =1/sin^2t 1=1 тождество доказано.

Answer 2

1) Для доказательства идентичности cos^4(t) - sin^4(t) = cos(2t), мы воспользуемся формулами двойного угла для синуса и косинуса:

cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)

Также нам понадобится сформулировать утверждение косинуса в квадрате:

cos^2(t) = 1 - sin^2(t)

Подставим это утверждение в формулу для cos(2t):

cos(2t) = 1 - sin^2(t) - sin^2(t) = 1 - 2sin^2(t)

Теперь заметим, что:

cos^4(t) - sin^4(t) = (cos^2(t) + sin^2(t))(cos^2(t) - sin^2(t))

Подставим утверждение cos^2(t) = 1 - sin^2(t) в это выражение:

cos^4(t) - sin^4(t) = (1 - sin^2(t) + sin^2(t))(1 - sin^2(t) - sin^2(t))

cos^4(t) - sin^4(t) = (1 - 2sin^2(t))(1 - 2sin^2(t))

Используем снова утверждение cos^2(t) = 1 - sin^2(t):

cos^4(t) - sin^4(t) = (cos(2t))(cos(2t))

Таким образом, доказано тождество cos^4(t) - sin^4(t) = cos(2t).

2) Для доказательства идентичности cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - (1/2)sin^2(2t), воспользуемся формулами для косинуса и синуса двойного угла:

cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t) = 1 - 2sin^2(t)

sin(2t) = 2sin(t)cos(t)

Также нам понадобится сформулировать утверждение синуса в квадрате:

sin^2(t) = (1 - cos(2t))/2

Теперь рассмотрим левую часть идентичности:

cos^4(t) + sin^4(t) = (cos^2(t))^2 + (sin^2(t))^2

cos^4(t) + sin^4(t) = (1 - sin^2(t))^2 + sin^4(t)

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - 2sin^2(t) + sin^4(t) + sin^4(t)

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - 2sin^2(t) + 2sin^4(t)

Теперь заменим sin^2(t) на (1 - cos(2t))/2:

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - 2(1 - cos(2t))/2 + 2(1 - cos(2t))/2^2

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - (1 - cos(2t)) + (1 - cos(2t))/2

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - 1 + cos(2t) + 1/2 - cos(2t)/2

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - (1/2)cos(2t) + 1/2

cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - (1/2)cos(2t) + 1/2

Таким образом, доказано тождество cos^4(t) + sin^4(t) = 1 - (1/2)sin^2(2t).