Question

Найди корни уравненияsinx⋅cosx=−1/2sinx

Answer 1

Sinx-cosx+1/2sinx=0
1,5sinx-cosx=0 делим на cosx
1,5tgx=1 делим на 1,5
tgx=2/3
x=arctg2/3+Пn, n принадлежит Z

Answer 2

Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме:

sin(x) * cos(x) = -1/2 * sin(x)

Заметим, что у нас есть произведение синуса и косинуса на одну и ту же переменную x. Мы знаем, что sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x), поэтому давайте перепишем уравнение:

sin(2x) = -1/2 * sin(x)

Далее, давайте решим это уравнение. Для этого приведем его к квадратному уравнению. Заменим sin(2x) на переменную t:

t = sin(2x)

Тогда уравнение примет вид:

t = -1/2 * sin(x)

Теперь можем выразить sin(x) через t:

sin(x) = -2t

Вспоминаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим выражение для sin(x):

(-2t)^2 + cos^2(x) = 1

Упростим:

4t^2 + cos^2(x) = 1

Так как -1 ≤ sin(x) ≤ 1, то -1 ≤ -2t ≤ 1. Отсюда получаем, что -1/2 ≤ t ≤ 1/2. Теперь возможны два случая:

1. Когда t = -1/2:

4 * (-1/2)^2 + cos^2(x) = 1 1 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 0 cos(x) = 0 x = π/2 + nπ, где n - целое число

2. Когда t = 1/2:

4 * (1/2)^2 + cos^2(x) = 1 1 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 0 cos(x) = 0 x = nπ, где n - целое число

Итак, корни уравнения sin(x) * cos(x) = -1/2 * sin(x) следующие:

x = π/2 + nπ, где n - целое число x = nπ, где n - целое число