Question

P>2 - простое число. Доказать, что не существует натуральных x,y,z таких, что x^p+y^p=z^p

Answer 1

Вы конечно же прикалываетесь :) Это знаменитое утверждение называется Большая теорема Ферма (вернее она к нему сводится). Доказательство его очень сложно, и занимает не одну сотню страниц. Доказано было в 1994 году Эндрю Уайлсом. Думаю, что во всем мире едва ли найдется 1000, а то и 100 человек способных его понять. :)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Ферма о простых числах вида 4k+1.

Предположим, что существуют натуральные числа x, y, z, удовлетворяющие условию x^p + y^p = z^p, где p > 2 - простое число.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Пусть все числа x, y, z являются нечетными. Тогда x^p, y^p и z^p будут нечетными числами. Следовательно, их сумма также будет нечетной. Но она должна равняться z^p, которое является четным числом (по определению степени). Противоречие.

2. Пусть все числа x, y, z являются четными. Обозначим x = 2^a, y = 2^b и z = 2^c, где a, b, c - натуральные числа.

Тогда уравнение примет вид (2^a)^p + (2^b)^p = (2^c)^p. Раскроем скобки: 2^(ap) + 2^(bp) = 2^(cp). Сократим обе части на 2^p: 2^(ap-p) + 2^(bp-p) = 2^(cp-p).

Таким образом, остатки от деления a, b и c на p равны p-1.

Но по теореме Ферма, если p - простое число вида 4k+1, то уравнение x^p + y^p = z^p не имеет натуральных решений. Противоречие.

3. Рассмотрим случай, когда два числа из трех являются четными, а третье - нечетное. Без ограничения общности, пусть x - нечетное, а y и z - четные. Тогда x^p будет нечетным числом, а y^p и z^p - четными числами.

Следовательно, их сумма будет нечетной. Но она должна равняться z^p, которое является четным числом. Противоречие.

Таким образом, из всех трех возможных случаев во всех случаях возникают противоречия. Следовательно, не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию x^p + y^p = z^p, где p > 2 - простое число.