Question

Срочно нужна помощь: 1) 3cos^(2)x-sin2x-sin^(2)x=0 2) 10sin^(2)x+5sinxcosx+cos^(2)x=3 3) 6sin^(2)2x-4sin4x+4cos^(2)2x=1

Answer 1

1) sin^2 x + sin 2x - 3cos^2 x = 0
sin^2 x + 2sin x*cos x - 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
tg^2 x - 2tg x - 3 = 0
(tg x + 1)(tg x - 3) = 0
tg x = -1; x1 = -pi/4 + pi*k
tg x = 3; x2 = arctg(3) + pi*n

2) 10sin^2 x + 5sin x*cos x + cos^2 x = 3sin^2 x + 3cos^2 x
7sin^2 x + 5sin x*cos x - 2cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
7tg^2 x + 5tg x - 2 = 0
(tg x + 1)(7tg x - 2) = 0
tg x = -1; x1 = -pi/4 + pi*k
tg x = 2/7; x2 = arctg(2/7) + pi*n

3) 6sin^2(2x) - 4sin(4x) + 4cos^2(2x) = 1
6sin^2(2x) - 4*2sin(2x)*cos(2x) + 4cos^2(2x) = sin^2(2x) + cos^2(2x)
5sin^2(2x) - 8sin(2x)*cos(2x) + 3cos^2(2x) = 0
Делим все на cos^2(2x)
5tg^2(2x) - 8tg(2x) + 3 = 0
(tg(2x) - 1)(5tg(2x) - 3) = 0
tg(2x) = 1; 2x = pi/4 + pi*k; x = pi/8 + pi/2*k
tg(2x) = 3/5; x = 1/2*arctg(3/5) + pi/2*n

Answer 2

1) Решим первое уравнение:

3cos^2(x) - sin(2x) - sin^2(x) = 0

Перепишем его через тригонометрические тождества:

3(1 - sin^2(x)) - 2sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0

Раскроем скобки:

3 - 3sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0

Объединим подобные члены:

2 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Домножим все на (-1):

4sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

4(2sin(x)cos(x)) + 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

Упростим:

8sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

10sin(x)cos(x) - 2 = 0

Вынесем общий множитель:

2(5sin(x)cos(x) - 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) 5sin(x)cos(x) - 1 = 0

2) 2 = 0 (полученное при вынесении общего множителя)

2) Решим второе уравнение:

10sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 3

Приведем подобные:

10sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) + cos^2(x) - 3 = 0

Также здесь можно воспользоваться формулой двойного угла для синуса и косинуса:

10(sin^2(x) + sin(x)cos(x)) + cos^2(x) - 3 = 0

10sin^2(x) + 10sin(x)cos(x) + cos^2(x) - 3 = 0

Учтем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

10 - 3 = 0

7 = 0 (неверное утверждение)

То есть данное уравнение не имеет решений.

3) Решим третье уравнение:

6sin^2(2x) - 4sin(4x) + 4cos^2(2x) = 1

Раскроем скобки:

6(2sin(x)cos(x))^2 - 4(2sin(2x)cos(2x)) + 4(2cos^2(x) - 1)^2 = 1

Упростим:

6(4sin^2(x)cos^2(x)) - 4(2sin^2(2x) - 2cos^2(2x)) + 4(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1) = 1

24sin^2(x)cos^2(x) - 8sin^2(2x) + 8cos^2(2x) + 16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 4 = 1

Раскроем наименование функций:

24sin^2(x)(1 - sin^2(x)) - 8(2sin^2(x) - 1) + 8(1 - 2sin^2(x)) + 16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 4 = 1

24sin^2(x) - 24sin^4(x) - 16sin^2(x) + 8 + 8 - 16sin^2(x) + 16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 4 = 1

Объединим подобные члены:

-24sin^4(x) - 56sin^2(x) + 8cos^4(x) - 16cos^2(x) + 12 = 1

Получим уравнение:

-24sin^4(x) - 56sin^2(x) + 8cos^4(x) - 16cos^2(x) + 11 = 0

Ответы для данных уравнений:

1) 5sin(x)cos(x) - 1 = 0 2) 7 = 0 (неверное утверждение) 3) -24sin^4(x) - 56sin^2(x) + 8cos^4(x) - 16cos^2(x) + 11 = 0