Question

Доказать, что 2(a+2√ab+b)≥4(a+b) если a≥0 и b≥0

Answer 1

Task/26160152
---------------------
Доказать , что  2(a+2√ab+b)   ≤  4(a+b) , если  a ≥ 0  и  b ≥0.  
-------------------  
* * *  определение: A  ≤  B , если A  - B ≤  0  * * *
2(a+2√ab+b) - 4(a+b) =2a +4√ab +2b -4a - 4b  =  -2a +4√ab -2b =
 -2(a - 2√ab+b ) = -2(√a -√b)²  ≤  0, т.е . 2(a+2√ab+b) ≤  4(a+b)
равенство  имеет место  , если  √a -√b=0 ⇔√a=√b  ⇔ a =b. 

Answer 2

Для доказательства неравенства 2(a+2√ab+b)≥4(a+b) при условии a≥0 и b≥0, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Раскроем скобки в левой части неравенства: 2(a+2√ab+b) = 2a + 4√ab + 2b

2. Перенесем все члены к одной стороне неравенства: 2a + 4√ab + 2b - 4a - 4b ≥ 0

3. Упростим выражение: -2a -2b + 4√ab ≥ 0

4. Выразим √ab как (ab)^(1/2): -2a -2b + 4(ab)^(1/2) ≥ 0

5. Разделим все члены неравенства на 2: -a -b + 2(ab)^(1/2) ≥ 0

6. Докажем, что левая часть неравенства всегда положительна или равна нулю при условии a≥0 и b≥0.

- Если a=b=0, то левая часть равна 0. - Если a>0 и b>0, то левая часть будет положительной, так как каждый из членов -a, -b и 2(ab)^(1/2) будет положительным числом. - Если a=0 и b>0, то левая часть будет положительной, так как -a = 0, -b<0 и 2(ab)^(1/2) будет положительным числом. - Если a>0 и b=0, то левая часть будет положительной, так как -a<0, -b=0 и 2(ab)^(1/2) будет положительным числом.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 2(a+2√ab+b)≥4(a+b) выполняется при условии a≥0 и b≥0.