Question

Не могу решить данный выражение: a^2+4b^2+26-4ab+10a-20b. Требуется найти наименьшее значение выражения. Прошу помощи. Заранее спасибо.

Answer 1

Группируешь, выносишь одинаковое, решаешь 

Answer 2

Давайте решим данное выражение:

\[ a^2 + 4b^2 + 26 - 4ab + 10a - 20b \]

Для нахождения наименьшего значения выражения нужно провести процесс завершения квадрата по переменным \(a\) и \(b\).

1. Разбиение членов по переменным: \[ (a^2 - 4ab + 10a) + (4b^2 - 20b + 26) \]

2. Для завершения квадрата по переменной \(a\): \[ (a^2 - 4ab + 10a) \]

Для завершения квадрата по \(a\), нужно добавить \((4ab - 10a)\) и затем добавить квадрат этого выражения. Получаем: \[ (a^2 - 4ab + 10a) + (4ab - 10a) + (4ab - 10a)^2 \]

Упростим: \[ (a - 2b + 5)^2 \]

3. Для завершения квадрата по переменной \(b\): \[ (4b^2 - 20b + 26) \]

Для завершения квадрата по \(b\), нужно добавить \((20b - 26)\) и затем добавить квадрат этого выражения. Получаем: \[ (4b^2 - 20b + 26) + (20b - 26) + (20b - 26)^2 \]

Упростим: \[ (2b - 13)^2 \]

Теперь выражение принимает следующий вид: \[ (a - 2b + 5)^2 + (2b - 13)^2 \]

Для нахождения наименьшего значения этого выражения нужно минимизировать оба квадрата. Минимальное значение квадрата равно 0, и оно достигается, когда аргумент квадрата равен 0. Таким образом, минимальное значение данного выражения равно 0, и достигается при \(a = 2b - 5\) и \(b = \frac{13}{2}\).

Таким образом, наименьшее значение выражения \(a^2 + 4b^2 + 26 - 4ab + 10a - 20b\) равно 0, и достигается при \(a = 2b - 5\) и \(b = \frac{13}{2}\).