Question

100 баллов за решение 3 задач с ДАНО ПОЖАЛУЙСТА 1)Велосипедист отправился из деревни на станцию, находящуюся на расстоянии 32 км, и вернулся обратно со скоростью на 1 км/ч большей, затратив на обратный путь на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист до станции? 2)Велосипедист ехал с определенной скоростью 16 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 4 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 2 ч 20 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города. 3)Автобус проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь А до В. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Answer 1

Задача № 1.

х км/ч           (х+1) км/ч
|–––––           –––––––|
|––––––––––––––––––|
Дер            32 км         Ст

t до ст. = 32/х ч
t до дер. = 32/(х+1) ч

t до ст. – t до дер. = 8/60

32       32      8
–– – –––– = ––      домножаем первую дробь на 60(х+1)           ОДЗ:  1) х≠0
 х      х+1      60                          вторую дробь на 60х                             2) х+1≠0
                                                   третью дробь на х(х+1)                             х≠ –1

32·60(х+1) – 32·60х = 8·х(х+1)
1920х + 1920 – 1920х = 8х² + 8х
8х² + 8х – 1920 = 0 (делим на 8)
х² + х – 240 = 0
D= 1+960=961,   √961 =31
х1 = (–1+ 31) : 2 = 30:2 = 15 (км/ч)
х2 = (–1 – 31) : 2 = –32 : 2 = –16 (не имеет смысла)

Ответ: Велосипедист ехал до станции со скоростью 15 км/ч.

Задача № 2.

х км/ч           (х–4) км/ч
|–––––           –––––––|
|––––––––––––––––––|
Гор            16 км         Тур

t до тур. = 16/х ч
t до гор. = 16/(х–4) ч

t до тур. + t до гор. = 2ч20мин = 2 цел 20/60 час = 2 цел 1/3 часа = 7/3 часа

16       16      7
–– + –––– = ––      домножаем первую дробь на 3(х–4)           ОДЗ:  1) х≠0
 х       х–4      3                          вторую дробь на 3х                             2) х–4≠0
                                                   третью дробь на х(х–4)                             х≠ 4

16·3(х–4) + 16·3х = 7·х(х–4)
48х – 192 + 48х = 7х² – 28х
7х² – 124х + 192 = 0

D= 124² – 4·7·192 =15 376 – 5 376 = 10 000,   √10 000 = 100
х1 = (124 + 100) : 14 = 16 (км/ч) – скорость велосипедиста от города до турбазы
х2 = (124 – 100) : 14 = 12 / 7 

16 – 4 = 12 км/ч – скорость от турбазы

Ответ: Велосипедист ехал до города со скоростью 12 км/ч.

Answer 2

Конечно, давайте решим каждую из задач по порядку.

1) Задача о велосипедисте и станции:

Обозначим скорость велосипедиста на пути до станции как \( V \) (в км/ч). Тогда его скорость на обратном пути будет \( V + 1 \) (велосипедист ехал со скоростью на 1 км/ч больше). Расстояние до станции \( S = 32 \) км.

Время в пути туда равно времени в пути обратно:

\[ \frac{S}{V} = \frac{S}{V + 1} + \frac{8}{60} \]

Решим уравнение:

\[ \frac{32}{V} = \frac{32}{V + 1} + \frac{4}{30} \]

Умножим обе стороны на 30V(V+1) (общий знаменатель):

\[ 30 \cdot 32 \cdot (V + 1) = 30 \cdot 32 \cdot V + 4V(V + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 960V + 960 + 30V^2 + 30V = 960V + 4V^2 + 4V \]

Упростим:

\[ 26V^2 - 26V - 960 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Для удобства давайте разделим все коэффициенты на 2:

\[ 13V^2 - 13V - 480 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-480) \] \[ D = 169 + 24960 \] \[ D = 25129 \]

\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ V = \frac{13 \pm \sqrt{25129}}{26} \]

Мы получим два значения \( V \), но нам нужно положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной. Таким образом:

\[ V = \frac{13 + \sqrt{25129}}{26} \approx 4.8 \]

Таким образом, скорость велосипедиста до станции была примерно 4.8 км/ч.

2) Задача о велосипедисте и турбазе:

Обозначим скорость велосипедиста на пути от города до турбазы как \( V \) (в км/ч). Тогда его скорость на обратном пути будет \( V - 4 \) (велосипедист снизил скорость на 4 км/ч). Расстояние до турбазы \( S = 16 \) км.

Время в пути туда и обратно равно 2 часам 20 минут (или 2.33 часа):

\[ \frac{S}{V} + \frac{S}{V - 4} = 2.33 \]

\[ \frac{16}{V} + \frac{16}{V - 4} = 2.33 \]

Умножим обе стороны на \( V(V - 4) \) (общий знаменатель):

\[ 16(V - 4) + 16V = 2.33V(V - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 16V - 64 + 16V = 2.33V^2 - 9.32V \]

Упростим:

\[ 2.33V^2 - 41.32V + 64 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ V = \frac{41.32 \pm \sqrt{41.32^2 - 4 \cdot 2.33 \cdot 64}}{2 \cdot 2.33} \]

Рассчитаем значение под корнем:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 41.32^2 - 4 \cdot 2.33 \cdot 64 \] \[ D \approx 115.14 \]

Теперь подставим \( D \) в формулу для \( V \):

\[ V = \frac{41.32 \pm \sqrt{115.14}}{4.66} \]

Мы получим два значения \( V \), и снова возьмем положительное значение:

\[ V \approx \frac{41.32 + \sqrt{115.14}}{4.66} \approx 12 \]

Таким образом, скорость велосипедиста от турбазы до города была примерно 12 км/ч.

3) Задача об автобусе:

Обозначим первоначальную скорость автобуса как \( V \) (в км/ч). Тогда его скорость на обратном пути будет \( V - 10 \) (возвращаясь со скоростью на 10 км/ч меньшей). Расстояние от пункта А до пункта В \( S = 40 \) км.

Время в пути туда равно времени в пути обратно плюс 20 минут (или 1/3 часа):

\[ \frac{S}{V} = \frac{S}{V - 10} + \frac{1}{3} \]

Умножим обе стороны на \( 3V(V - 10) \) (общий знаменатель):

\[ 3 \cdot 40 \cdot (V - 10) = 3 \cdot 40 \cdot V + V(V - 10) \]

Раскроем скобки:

\[ 120(V - 10) = 120V + V^2 - 10V \]

У