Question

Найдите область определения и область значений функции y=√2-3x

Answer 1

 y=√(2-3x)  ОДЗ 2-3х ≥0  х ≤ 2/3

х∈(-∞;2/3] -область определения D
y∈[0 ;+∞) - область значения Е

Answer 2

Давайте разберемся с функцией \(y = \sqrt{2-3x}\).

1. Область определения (Domain):

Область определения - это множество всех значений переменной, для которых функция определена. В данном случае, под корнем \(\sqrt{2-3x}\) не может быть отрицательное число или ноль, иначе мы получим комплексные числа под корнем, что не подходит для рассмотрения функции в вещественной области. Таким образом, выражение под корнем \(2-3x\) должно быть больше или равно нулю:

\[2 - 3x \geq 0\]

Решим это неравенство:

\[3x \leq 2\]

\[x \leq \frac{2}{3}\]

Таким образом, область определения функции - это все вещественные числа \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x \leq \frac{2}{3}\).

Итак, область определения: \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq \frac{2}{3}\}\).

2. Область значений (Range):

Область значений - это множество всех возможных значений функции. В данном случае, функция \(\sqrt{2-3x}\) принимает значения корня из \(2-3x\). Поскольку \(2-3x\) должно быть неотрицательным, чтобы корень был определен в вещественных числах, мы можем анализировать только те значения, для которых \(2-3x \geq 0\).

Минимальное значение \(2-3x\) достигается при максимальном значении \(x\), которое равно \(\frac{2}{3}\). Таким образом, минимальное значение под корнем равно \(2 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 - 2 = 0\). Следовательно, область значений функции - это все неотрицательные вещественные числа.

Итак, область значений: \(\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}\).

В итоге: - Область определения: \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq \frac{2}{3}\}\). - Область значений: \(\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}\).