Question

Решите неравенство 3^1/5x-2<=1/3^1/5-3x

Answer 1

3^(1 / 5x-2) ≤ 1/3^(1 / 5-3x);
3^( 1 / 5x-2) ≤ (3^-1)^(-1 / 3x- 5);
3^(1 / 5x-2) ≤ 3^(1 / 3x - 5 );
3>1; ⇒1 / 5x-2 ≤ 1 / 3x-5;
1 / 5x-2  - 1/ 3x-5 ≤ 0;
(3x - 5- 5x + 2)  /  (5x -2)(3x-5) ≤ 0;
(-2x - 3) / (5x-2)(3x-5) ≤ 0;  /*(-1) <0; 
(2x+3) / (5x -2)(3x -5) ≥ 0;
метод интервалов:
  
   -                   +                  -               +
_____ [-1,5]______(0,4)______(5/3)___x

x ∈[-1,5; 0,4) U (5/3 ; + бесконечность)
       

Answer 2

Для начала давайте преобразуем это неравенство, чтобы избавиться от знаменателя в левой части.

У нас есть: 3^(1/5)x - 2 <= 1/3^(1/5) - 3x

Перепишем левую часть без знаменателя: 3^(1/5)x - 2 = 3^(1/5)x - 2*(3^(1/5))*(3^(-1/5)) = 3^(1/5)x - 2*(3^(1/5))/3^(1/5) = 3^(1/5)x - 2*(3^(1/5)/3^(1/5)) = 3^(1/5)x - 2*1 = 3^(1/5)x - 2

Теперь у нас есть: 3^(1/5)x - 2 <= 1/3^(1/5) - 3x

Перепишем правую часть без знаменателя: 1/3^(1/5) = 1/(3^(1/5)) = (1/3)^(1/5)

Теперь у нас есть: 3^(1/5)x - 2 <= (1/3)^(1/5) - 3x

Чтобы решить это неравенство, будем искать значения x, которые удовлетворяют неравенству. Возьмем общий знаменатель для удобства.

У нас есть: (3^(1/5)x - 2)/1 <= (1/3)^(1/5) - 3x

Общий знаменатель равен единице, поэтому неравенство сохраняется.

Теперь приведем к общему знаменателю: (3^(1/5)x - 2)/1 <= (1/3)^(1/5) - 3x

Умножаем оба члена неравенства на 1/3^(1/5): (3^(1/5)x - 2)*1/3^(1/5) <= (1/3)^(1/5) - 3x * 1/3^(1/5)

Упрощаем: (3^(1/5)x - 2)/3^(1/5) <= 1/3 - 3x/3^(1/5)

(3^(1/5) в числителе и знаменателе сокращается): x - 2/3^(1/5) <= 1/3 - 3x/3^(1/5)

Добавляем 3x/3^(1/5) к обеим частям: x + 3x/3^(1/5) - 2/3^(1/5) <= 1/3

Общий знаменатель во второй части равен 3^(1/5): (3^(1/5)x + 3x)/3^(1/5) - 2/3^(1/5) <= 1/3

3^(1/5) можно записать как корень пятой степени с 3: √(3)x + 3x/√(3) - 2/√(3) <= 1/3

Сокращаем: (√(3)x + 3x - 2)/√(3) <= 1/3

Умножаем обе части неравенства на √(3): (√(3)x + 3x - 2)/√(3) * √(3) <= (1/3) * √(3)

√(3)x + 3x - 2 <= √(3)/3

Теперь, чтобы решить это неравенство, выразим x.

Перепишем неравенство: (4√(3)x - 2)/√(3) <= √(3)/3

Умножаем обе части неравенства на √(3)/2: ((4√(3)x - 2)/√(3)) * √(3)/2 <= (√(3)/3) * √(3)/2

Выполняем умножение и упрощаем: (4√(3)x - 2)/2 <= √(3)/6

Сокращаем: 2√(3)x - 1 <= √(3)/6

Добавляем 1 к обеим частям: 2√(3)x <= √(3)/6 + 1

Упрощаем правую часть: 2√(3)x <= (√(3) + 6)/6

Делим обе части неравенства на 2√(3): x <= (√(3) + 6)/(6 * 2√(3))

Дальше можно привести ответ к более удобному виду, умножив числитель и знаменатель дроби на √(3) для сокращения корней: x <= (√(3) + 6)/(6 * 2√(3)) * (√(3)/√(3))

Получаем: x <= (√(3) + 6)√(3)/(6 * 2 * 3)

Упрощаем: x <= (√(3) + 6)√(3)/36

Таким образом, решением данного неравенства будет: x <= (√(3) + 6)√(3)/36