Question

Решите неравенство:а) 4x²-4x-15<0;б) x²-81>0;в) x²<1.7x;г) x(x+3)-6<3(x+1)

Answer 1

А)4x²-4x-15<0
4x²-4x-15=0
Д=16-4*4*(-15)=16+240=256=16²
x1=4+16/8=20/8=2,5
x2=4-16/8=-12/8=-1,5
Ответ: х∈(-∞;-1,5) U (2,5;∞)
б)x²-81>0
x²-81=0
x²=81
x1=9 x2=-9
Ответ: x ∈ (9;∞)
в)x²<1.7x
x²-1.7x<0
x²-1.7x=0
x(x-1.7)=0
x=0 x=1.7
Овет: решения нет
г) x(x+3)-6<3(x+1)
x²+3x-6<3x+3
x²+3x-3x<3+6
x²<9
x²=9
x1=3 x2=-3
Ответ: x ∈ (-∞;-3)

Answer 2

Давайте решим каждое из неравенств:

а) \(4x^2 - 4x - 15 < 0\)

Для решения квадратного трехчлена, давайте найдем его корни:

\[4x^2 - 4x - 15 = 0\]

Используем квадратное уравнение: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, у нас \(a = 4\), \(b = -4\), и \(c = -15\).

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(-15)}}{2(4)}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{8}\]

\[x = \frac{4 \pm 16}{8}\]

Таким образом, корни уравнения \(4x^2 - 4x - 15 = 0\) равны \(x_1 = \frac{5}{2}\) и \(x_2 = -\frac{3}{2}\).

Теперь мы можем построить знаковую таблицу, используя найденные корни:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, -\frac{3}{2}) & (-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}) & (\frac{5}{2}, \infty) \\ \hline 4x^2 - 4x - 15 & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Так как нам нужны значения, при которых \(4x^2 - 4x - 15 < 0\), ответом будет интервал \((-3/2, 5/2)\).

б) \(x^2 - 81 > 0\)

Это уравнение представляет собой разность двух квадратов: \((x + 9)(x - 9) > 0\).

Теперь построим знаковую таблицу, используя корни уравнения \((x + 9)(x - 9) = 0\), которые равны \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 9\):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, -9) & (-9, 9) & (9, \infty) \\ \hline (x + 9)(x - 9) & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Так как нам нужны значения, при которых \((x + 9)(x - 9) > 0\), ответом будет объединение интервалов \((- \infty, -9)\) и \((9, \infty)\).

в) \(x^2 < 1.7x\)

Приведем неравенство к виду \(x^2 - 1.7x < 0\) и решим его:

\[x^2 - 1.7x < 0\]

Теперь построим знаковую таблицу, используя корни уравнения \(x^2 - 1.7x = 0\), которые равны \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1.7\):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, 0) & (0, 1.7) & (1.7, \infty) \\ \hline x^2 - 1.7x & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Так как нам нужны значения, при которых \(x^2 - 1.7x < 0\), ответом будет интервал \((0, 1.7)\).

г) \(x(x+3) - 6 < 3(x+1)\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[x^2 + 3x - 6 < 3x + 3\]

Теперь приведем неравенство к виду \(x^2 - 3 < 0\) и решим его:

\[x^2 - 3 < 0\]

Теперь построим знаковую таблицу, используя корни уравнения \(x^2 - 3 = 0\), которые равны \(x_1 = -\sqrt{3}\) и \(x_2 = \sqrt{3}\):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, -\sqrt{3}) & (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) & (\sqrt{3}, \infty) \\ \hline x^2 - 3 & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Так как нам нужны значения, при которых \(x^2 - 3 < 0\), ответом будет интервал \((- \sqrt{3}, \sqrt{3})\).

Итак, ответы на неравенства:

а) \(x \in (-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\)

б) \(x \in (-\infty, -9) \cup (9, \infty)\)

в) \(x \in (0, 1.7)\)

г) \(x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})\)