Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции : 1) y = x(4) - 8x(3) + 10x(2) + 1 на [1;6] 2) y=x(3) - 2x(2) + 1 на [0.5; + бесконечность)

Answer 1

1) y'=4x^3-24x^2+20x=0

x=0; x^2-6x+5=0  (x-5)(x-1)=0

x=1 x=5

f(1)=1-8+10+1=4

f(5)=625-8*125+250+1=-124

f(6)=1296-1728+360+1=-71

ответ минимум -124 (f(5))

максимум f(1)=4

2) y'=3x^2-4x=0  x(3x-4)

x=4/3

y(4/3)=64/27-32/9+1=1-32/27=-5/27 - минимум

y(1/2)=1/8-1/2+1=5/8 - максимум

Answer 2

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1 на интервале [1;6], необходимо найти значения функции в концах интервала и в точках, где производная функции равна нулю.

а) Найдем значения функции в концах интервала: Подставляем x = 1: y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4. Подставляем x = 6: y(6) = 6^4 - 8(6)^3 + 10(6)^2 + 1 = 1297.

б) Найдем точки, в которых производная равна нулю: Находим производную функции: y'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 20x. Ищем корни уравнения y'(x) = 0: 4x^3 - 24x^2 + 20x = 0. Выносим x за скобки: x(4x^2 - 24x + 20) = 0. Теперь решаем полученное уравнение: x = 0 (один из корней). Из квадратного уравнения 4x^2 - 24x + 20 = 0 решения не имеет. Таким образом, точка x = 0 является точкой экстремума функции на данном интервале.

в) Проверяем значение функции в точке x = 0: y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1. Значение функции в точке x = 0 равно 1.

Итак, наибольшее значение функции на интервале [1;6] равно 1297, а наименьшее значение функции равно 1.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^3 - 2x^2 + 1 на интервале [0.5; +∞), необходимо найти значения функции в точке начала интервала и в случае, если функция не имеет максимального или минимального значения на данном интервале - указывается "+∞".

а) Найдем значение функции в точке начала интервала: Подставляем x = 0.5: y(0.5) = (0.5)^3 - 2(0.5)^2 + 1 = 0.5 - 0.5 + 1 = 1.

б) Посмотрим на функцию y = x^3 - 2x^2 + 1 и ее график. Заметим, что данная функция неограничена сверху на интервале [0.5; +∞). То есть, нет наибольшего значения. Однако, на интервале [0.5; +∞) функция имеет наименьшее значение в точке x = ∞ и оно равно "-∞".

Итак, на интервале [0.5; +∞) наибольшего значения функции не существует, а наименьшее значение функции равно "-∞".