Question

Найдите первообразную F(x), если F'(x)=sinx и F(1)=4.

Answer 1

F(x)=∫F'(x)dx=∫sin(x)dx=-cos(x)+C.
Так как F(1)=4, то -cos(1)+C=4, C=4+cos(1).
Поэтому F(x)=-cos(x) + 4 + cos(1).

Answer 2

Конечно, давайте найдем первообразную \( F(x) \), удовлетворяющую условиям \( F'(x) = \sin(x) \) и \( F(1) = 4 \).

Интегрируем функцию \( \sin(x) \) по переменной \( x \):

\[ \int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C, \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Теперь мы имеем первообразную \( -\cos(x) + C \). Чтобы найти \( C \), подставим условие \( F(1) = 4 \):

\[ -\cos(1) + C = 4. \]

Теперь решим уравнение относительно \( C \):

\[ C = 4 + \cos(1). \]

Таким образом, первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = -\cos(x) + (4 + \cos(1)). \]

Это и есть ответ.