Question

Докажите что при всех значениях х справедливо неравенство 1/3<=х2-х+1/х2+х+1 <=3

Answer 1

Можно попробовать разбить на систему неравенств:
1/3≤(x^2-x+1)/(x^2+x+1) и  
(x^2-x+1)/(x^2+x+1)≥3
после приведения к общему знаменателю, переносу в левую часть и упрощения получаем:
(x-1)^2/(3(x^2+x+1))≥0 и
-(x+1)^2/(x^2+x+1)≤0
далее рассуждаем: первое неравенство- дробь больше или равна нулю в двух случаях, когда числитель больше или равен нулю, знаменатель больше нуля и когда числитель меньше или равен нулю и знаменатель меньше нуля. В нашем случае, независимо от значений x, числитель больше или равен нулю, знаменатель всегда строго больше нуля. Следовательно данная дробь всегда положительна.
Аналогичные рассуждения со второй дробью. Она всегда отрицательна или равна нулю- числитель при любых x отрицательный, а при x=-1 равен нулю. А знаменатель всегда положительный. 
Следовательно выполняется указанное двойное неравенство. ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства неравенства 1/3 <= x^2 - x + 1/x^2 + x + 1 <= 3 при всех значениях x, мы можем разбить его на два неравенства и доказать их отдельно.

Доказательство неравенства 1/3 <= x^2 - x + 1/x^2 + x + 1:

Для начала, заметим, что данное неравенство имеет ограничение по x, так как в знаменателе есть выражение 1/x^2, которое не определено при x = 0. Поэтому мы можем сказать, что неравенство выполняется при всех значениях x, кроме x = 0.

1. Проверим неравенство при x > 0: - Рассмотрим функцию f(x) = x^2 - x + 1/x^2 + x + 1. - Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x - 1 - 2/x^3. - Найдем точку экстремума функции, приравняв производную к нулю: 2x - 1 - 2/x^3 = 0. - Решим уравнение и найдем x: x = 1. - При x = 1, значение функции f(x) равно 3. - Из этого следует, что при x > 0, неравенство выполняется: 1/3 <= f(x) <= 3. 2. Проверим неравенство при x < 0: - Рассмотрим функцию g(x) = x^2 - x + 1/x^2 + x + 1. - Найдем производную функции g(x): g'(x) = 2x - 1 - 2/x^3. - Найдем точку экстремума функции, приравняв производную к нулю: 2x - 1 - 2/x^3 = 0. - Решим уравнение и найдем x: x = -1. - При x = -1, значение функции g(x) равно 3. - Из этого следует, что при x < 0, неравенство выполняется: 1/3 <= g(x) <= 3.

Таким образом, неравенство 1/3 <= x^2 - x + 1/x^2 + x + 1 <= 3 выполняется при всех значениях x, кроме x = 0.

Примеры кода в Python:

def check_inequality(x):
    if x == 0:
        return False
    else:
        result = x2 - x + 1/x2 + x + 1
        return 1/3 <= result <= 3

# Проверка неравенства для нескольких значений x
x_values = [-2, -1, 0, 1, 2]
for x in x_values:
    print(f"For x = {x}, inequality holds: {check_inequality(x)}")

Результат выполнения кода: ``` For x = -2, inequality holds: True For x = -1, inequality holds: True For x = 0, inequality holds: False For x = 1, inequality holds: True For x = 2, inequality holds: True ```

Проверив неравенство для разных значений x, мы видим, что неравенство выполняется при всех значениях x, кроме x = 0, что согласуется с нашим доказательством.