Question

Срочно! log 3 (x^2-1) < log (x+1) +1 заранее спасибо!

Answer 1

Для решения данного неравенства с логарифмами нужно применить свойства логарифмов и математические преобразования. Начнем с того, что для решения неравенства с логарифмами обычно используются следующие свойства логарифмов:

1. \( \log(a) < \log(b) \), если \( a < b \). 2. \( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \). 3. \( \log(a) - \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right) \).

Теперь приступим к вашему неравенству: \( \log_3(x^2 - 1) < \log(x + 1) + 1 \).

Первым шагом можно попробовать избавиться от логарифмов, используя свойство (1) логарифмов: если два логарифма равны, то их аргументы должны быть равны.

\[ \log_3(x^2 - 1) < \log(x + 1) + 1 \]

Применим экспоненту к обеим частям неравенства для избавления от логарифмов:

\[ 3^{\log_3(x^2 - 1)} < 3^{\log(x + 1) + 1} \]

Используем свойство экспоненты \(a^{\log_a(b)} = b\):

\[ x^2 - 1 < 3 \cdot (x + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 1 < 3x + 3 \]

Переносим все в одну часть неравенства:

\[ x^2 - 3x - 4 < 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) (где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-4\)):

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два корня уравнения: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь нужно проанализировать неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) относительно корней. Для этого можно построить знаковую таблицу:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & x^2 - 3x - 4 & \text{Знак} \\ \hline (-\infty, -1) & - & - \\ (-1, 4) & + & + \\ (4, +\infty) & - & - \\ \hline \end{array} \]

Теперь решением неравенства \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) является интервал \(-1 < x < 4\).

Таким образом, исходное неравенство \( \log_3(x^2 - 1) < \log(x + 1) + 1 \) выполняется для значений \( x \) из интервала \(-1 < x < 4\).