Question

Помогите, пожалуйста, с решением! Очень срочно! Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его: (ln y – 5 y2 * sin (5 x))dx + (x/y + 2 y * cos (5 x))dx=0

Answer 1

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x), Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x). Для того, чтобы данное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dP/dy=dQ/dx. В нашем случае dP/dy=1/y-10*y*sin(5*x), dQ/dx=1/y-10*y*sin(5*x), т.е. dP/dy=dQ/dx, поэтому данное уравнения есть уравнение в полных дифференциалах. Но тогда справедлива система уравнений:

P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x)=du/dx
Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x)=du/dy,

где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y).

Интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). А так как du/dy=Q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=C1, где С1 - произвольная постоянная. Значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+C1. Но так по условию du=0, то u=const=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C, где C=C2-C1. Это и есть решение данного уравнения. Ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C.


 

Answer 2

Для того, чтобы проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах, нужно сравнить коэффициенты перед дифференциалами в уравнении.

Уравнение в полных дифференциалах записывается в следующем виде:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

где M(x, y) и N(x, y) - функции от x и y.

В данном уравнении у нас есть два слагаемых перед dx и dy. Разделим оба слагаемых на dx:

(ln y – 5y^2 * sin(5 + x)) + (x/y + 2y * cos(5 + x))dy/dx = 0

Обратите внимание, что мы обозначаем dy/dx как коэффициент перед dy.

Теперь сравним слагаемые перед dx и dy:

M(x, y) = ln y – 5y^2 * sin(5 + x) N(x, y) = x/y + 2y * cos(5 + x)

Если существуют функции P(x, y) и Q(x, y), такие что:

dP/dy = M(x, y) dQ/dx = N(x, y)

то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Выполним поиск функций P(x, y) и Q(x, y):

dP/dy = d/dy (ln y – 5y^2 * sin(5 + x)) = (1/y – 10y * sin(5 + x))

dQ/dx = d/dx (x/y + 2y * cos(5 + x)) = (1/y) * dx/dx + 2y * cos(5 + x) + 2(dy/dx) * cos(5 + x) = (1/y) + 2y * cos(5 + x) + 2(– ln y + 5y^2 * sin(5 + x)) * cos(5 + x) = (1/y) + 2y * cos(5 + x) – 2ln y * cos(5 + x) + 10y^2 * sin(5 + x) * cos(5 + x)

Сравним dP/dy и dQ/dx:

(1/y – 10y * sin(5 + x)) = (1/y) + 2y * cos(5 + x) – 2ln y * cos(5 + x) + 10y^2 * sin(5 + x) * cos(5 + x)

Мы видим, что dP/dy и dQ/dx равны только тогда, когда (1/y – 10y * sin(5 + x)) = 0.

Решим это уравнение:

1/y – 10y * sin(5 + x) = 0 1 – 10y^2 * sin(5 + x) = 0 10y^2 * sin(5 + x) = 1 y^2 * sin(5 + x) = 1/10 y^2 = 1/(10 * sin(5 + x))

Итак, проверка показала, что данное дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Решение данного уравнения требует применения других методов, например, метода вариации постоянной или метода разделения переменных.