Question

Доказать неравенство 9b2+1≥6b

Answer 1

$(3b-1)^2 \geq 0\\\\9b^2-6b+1 \geq 0\\\\9b^2+1 \geq 6b$

Answer 2

Для доказательства неравенства 9b^2 + 1 ≥ 6b, можно использовать метод дискриминанта.

Сначала приведем данное неравенство к квадратному виду:

9b^2 - 6b + 1 ≥ 0

Теперь вычислим дискриминант:

D = (-6)^2 - 4 * 9 * 1 D = 36 - 36 D = 0

Дискриминант равен 0, что означает, что уравнение имеет один корень.

Найдем этот корень:

b = (-6) / 2 * 9 b = -6 / 18 b = -1/3

Теперь рассмотрим знаки выражения 9b^2 - 6b + 1 в трех интервалах:

1) b < -1/3 Подставим b = -1 в исходное уравнение: 9*(-1)^2 + 1 ≥ 6*(-1) 9 + 1 ≥ -6 10 ≥ -6

Так как данное неравенство верно, то исходное неравенство 9b^2 + 1 ≥ 6b также верно для всех b < -1/3.

2) b = -1/3 Подставим b = -1/3 в исходное уравнение: 9*(-1/3)^2 + 1 ≥ 6*(-1/3) 9*(1/9) + 1 ≥ -2 1 + 1 ≥ -2 2 ≥ -2

Так как данное неравенство верно, то исходное неравенство 9b^2 + 1 ≥ 6b также верно при b = -1/3.

3) b > -1/3 Подставим b = 0 в исходное уравнение: 9*0^2 + 1 ≥ 6*0 0 + 1 ≥ 0

Так как данное неравенство верно, то исходное неравенство 9b^2 + 1 ≥ 6b также верно для всех b > -1/3.

Таким образом, неравенство 9b^2 + 1 ≥ 6b справедливо для всех b из отрезка (-∞, -1/3] ∪ [-1/3, +∞).