Question

Избавиться от иррациональности в знаменателеА)Б)

Answer 1

$1) \frac{15}{ \sqrt{3} - \sqrt{2} } = \frac{15 *(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{15 \sqrt{3} +15 \sqrt{2} }{3-2} =\frac{15 \sqrt{3} +15 \sqrt{2} }{1} = \\ =15 \sqrt{3} +15 \sqrt{2}$

$2) \frac{b}{2+ \sqrt{3} } =\frac{b*(2- \sqrt{3})}{(2+ \sqrt{3})(2- \sqrt{3}) } = \frac{2b- b\sqrt{3} }{4-3} = \frac{2b- b\sqrt{3} }{1} =2b- b\sqrt{3}$

Answer 2

А)15/(√3 -√2)=15(√3 +√2)/(√3-√2)(√3+√2)=15(√3 +√2)/(3-1)=15(√3 +√2)
Б)b/(2+√3)=b(2-√3)/(2+√3)(2-√3)=b(2-√3)/(4-3)=b(2-√3)

Answer 3

Для избавления от иррациональности в знаменателе вы можете использовать различные методы, в зависимости от конкретной задачи или уравнения. Вот несколько подходов, которые могут быть полезными:

Метод рационализации знаменателя

Один из способов избавиться от иррациональности в знаменателе - это использовать метод рационализации знаменателя. Этот метод заключается в умножении и делении на подходящие выражения, чтобы преобразовать иррациональное выражение в рациональное. Вот несколько примеров:

- Рационализация суммы или разности квадратных корней: Если у вас есть выражение вида \(\frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}\), вы можете умножить и разделить на выражение, сопряженное с иррациональным знаменателем, чтобы получить рациональное выражение. Например, для выражения \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\), вы можете умножить и разделить на \(\sqrt{2} - \sqrt{3}\), чтобы получить \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \sqrt{2} - \sqrt{3}\).

- Рационализация произведения или частного квадратных корней: Если у вас есть выражение вида \(\frac{a}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{c}}\) или \(\frac{a}{\sqrt{b} / \sqrt{c}}\), вы можете умножить и разделить на подходящее выражение, чтобы получить рациональное выражение. Например, для выражения \(\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}\), вы можете умножить и разделить на \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\), чтобы получить \(\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6}\).

Примеры решения уравнений с иррациональными знаменателями

Давайте рассмотрим несколько примеров решения уравнений с иррациональными знаменателями:

Пример 1: Решим уравнение \(\frac{1}{\sqrt{x+2}} = 2\).

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррационального знаменателя: \(\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}}\right)^2 = 2^2\). Это дает нам \(\frac{1}{x+2} = 4\).

2. Умножим обе части уравнения на \(x+2\), чтобы избавиться от знаменателя: \((x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = 4 \cdot (x+2)\). Это дает нам \(1 = 4x + 8\).

3. Решим полученное уравнение: \(4x + 8 = 1\). Вычтем 8 из обеих частей уравнения: \(4x = -7\). Разделим обе части на 4: \(x = -\frac{7}{4}\).

Таким образом, решение уравнения \(\frac{1}{\sqrt{x+2}} = 2\) равно \(x = -\frac{7}{4}\).

Пример 2: Решим уравнение \(\frac{2}{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}\).

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональных знаменателей: \(\left(\frac{2}{\sqrt{x-3}}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^2\). Это дает нам \(\frac{4}{x-3} = \frac{1}{x+1}\).

2. Умножим обе части уравнения на \((x-3)(x+1)\), чтобы избавиться от знаменателей: \((x-3)(x+1) \cdot \frac{4}{x-3} = (x-3)(x+1) \cdot \frac{1}{x+1}\). Это дает нам \(4(x+1) = (x-3)\).

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение: \(4x + 4 = x - 3\). Вычтем x и 4 из обеих частей уравнения: \(3x = -7\). Разделим обе части на 3: \(x = -\frac{7}{3}\).

Таким образом, решение уравнения \(\frac{2}{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}\) равно \(x = -\frac{7}{3}\).

Примечание: При решении уравнений с иррациональными знаменателями всегда необходимо проверять полученные решения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.