Question

Помогите решить уравнение (x-1)^4-2(x-1)^2-3=0

Answer 1

(x-1)^4-2(x-1)²-3=0
Введём замену переменной , пусть (х-1)²=у
у²-2у-3=0
D=4-4·(-3)=16    √D=4
y1=(2+4)\2=3
y2=(2-4)\2=-1
Возвращаемся к замене : (х-1)²=у1
(х-1)²=3
х-1=√3  и    х-1=-√3
х=1+√3 и    х= 1-√3
(х-1)²=-1 корней нет
Ответ: 1+√3;1-√3

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).

Обозначим \(y = (x-1)^2\), тогда уравнение приобретет вид:

\[y^2 - 2y - 3 = 0\]

Теперь решим это уравнение в отношении \(y\). Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -3\). Подставим эти значения:

\[y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2 \times 1}\]

\[y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}\]

\[y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\) 2. \(y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Теперь вернемся к переменной \(x\), учитывая, что \(y = (x-1)^2\):

1. Для \(y_1 = 3\): \[(x-1)^2 = 3\] Решим это уравнение: \[x-1 = \pm \sqrt{3}\] Получаем два возможных значения: \[x_1 = 1 + \sqrt{3}\] \[x_2 = 1 - \sqrt{3}\]

2. Для \(y_2 = -1\): \[(x-1)^2 = -1\] Это уравнение не имеет решений в вещественных числах, так как квадрат не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\) имеет два решения: \[x_1 = 1 + \sqrt{3}\] \[x_2 = 1 - \sqrt{3}\]