Question

Найдите наименьшее значение выражения (2x^2+7)^2+(y^2-3)^2-24

Answer 1

(2y² + 7)² + (y² - 3)² - 24 = 4y⁴ + 28y² + 49 + y⁴ - 6y² + 9 - 24 = 5y⁴ + 22y² - 15 = 5(y²)² + 22y²  + 34 
Квадрат числа - есть число неотрицательное.
Сумма квадратов будет принимать наименьшее значение, равно 0, а данное выражение значение, равное 34.
Ответ: 34.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения (2x^2+7)^2+(y^2-3)^2-24, мы должны найти минимум квадратов каждого слагаемого.

Рассмотрим первое слагаемое (2x^2+7)^2. Чтобы найти его минимум, мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Возьмем производную от этого слагаемого по переменной x и приравняем ее к нулю:

d/dx (2x^2+7)^2 = 2(2x^2+7)(4x) = 8x(2x^2+7)

Приравняем это выражение к нулю и решим уравнение:

8x(2x^2+7) = 0

Так как множитель 8x не может быть равным нулю, мы можем рассмотреть второй множитель:

2x^2+7 = 0

Решим это квадратное уравнение:

2x^2 = -7 x^2 = -7/2

Так как квадрат от переменной не может быть отрицательным числом, это уравнение не имеет решений. Значит, первое слагаемое не имеет минимума.

Рассмотрим второе слагаемое (y^2-3)^2. Аналогично, возьмем производную от этого слагаемого по переменной y и приравняем ее к нулю:

d/dy (y^2-3)^2 = 2(y^2-3)(2y) = 4y(y^2-3)

Приравняем это выражение к нулю и решим уравнение:

4y(y^2-3) = 0

Так как множитель 4y не может быть равным нулю, мы можем рассмотреть второй множитель:

y^2-3 = 0

Решим это квадратное уравнение:

y^2 = 3 y = ±√3

Таким образом, возможные значения y, при которых второе слагаемое достигает минимума, равны ±√3.

Теперь подставим найденные значения x и y в выражение и найдем наименьшее значение:

(2x^2+7)^2+(y^2-3)^2-24 = (2(±√3)^2+7)^2+(±√3^2-3)^2-24 = (2*3+7)^2+(3-3)^2-24 = (6+7)^2+0-24 = 13^2+0-24 = 169-24 = 145

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 145.