Question

Y=3sinx cosx+1 найти наибольшие и наименьшие значения функции

Answer 1

Сначала преобразуем функцию,затем найдём множество её значений.

Answer 2

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции \( y = 3\sin x + \cos x + 1 \) нужно рассмотреть её поведение. Для этого можно воспользоваться производными функции.

1. Найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \):

\[ y' = 3\cos x - \sin x \]

2. Далее, найдем точки, где производная равна нулю, так как в этих точках функция может достигать экстремумов (минимумов и максимумов). Решим уравнение \( 3\cos x - \sin x = 0 \):

\[ 3\cos x = \sin x \]

Решениями этого уравнения будут точки, где \(\tan x = \frac{3}{1}\). Такие точки можно найти, например, используя арктангенс:

\[ x = \arctan(3) \]

3. После того, как найдены точки, где производная равна нулю, нужно проверить знаки производной в интервалах между этими точками. Это позволит определить, где функция возрастает, а где убывает, и, следовательно, найти максимумы и минимумы.

Поскольку \( 3\cos x - \sin x \) меняет знак в точке \( x = \arctan(3) \), можно разбить область определения функции на два интервала: \( (-\infty, \arctan(3)) \) и \( (\arctan(3), +\infty) \).

4. Теперь проверим знак производной в каждом интервале:

- Для интервала \( (-\infty, \arctan(3)) \), выберем \( x = 0 \) (меньше \( \arctan(3) \)). Подставим \( x = 0 \) в \( 3\cos x - \sin x \):

\[ 3\cos(0) - \sin(0) = 3 > 0 \]

Значит, на интервале \( (-\infty, \arctan(3)) \) функция \( y \) возрастает.

- Для интервала \( (\arctan(3), +\infty) \), выберем \( x = \arctan(3) + \pi \) (больше \( \arctan(3) \)). Подставим \( x = \arctan(3) + \pi \) в \( 3\cos x - \sin x \):

\[ 3\cos(\arctan(3) + \pi) - \sin(\arctan(3) + \pi) = -3 < 0 \]

Значит, на интервале \( (\arctan(3), +\infty) \) функция \( y \) убывает.

5. Теперь, когда известно, где функция возрастает и убывает, можно сделать выводы относительно наибольших и наименьших значений.

- Минимальное значение функции будет в точке, где она переходит из убывания в возрастание, т.е., при \( x = \arctan(3) \).

- Максимальное значение функции будет в точке, где она переходит из возрастания в убывание. Такой точкой будет точка, где \( x = \arctan(3) + \pi \).

Таким образом, наименьшее значение функции \( y \) равно \( 1 \) (когда \( x = \arctan(3) \)), а наибольшее значение равно \( 3 + 1 = 4 \) (когда \( x = \arctan(3) + \pi \)).