Question

1)a)log3 (2-x)=2 б)log2 (2x+1)=0 2)lg (4z+5) - lg (5x+2)=0 3)2log^2 16 x - log16 x -1=0 4)log2 (x+1) + log2 (x+2) =1 решите пожалуйста)

Answer 1

А)-7
б)0
2)возможно опечатка с z,я взяла его за х...3
3)-
4)х=0,х=-3

Answer 2

Давайте решим данные логарифмические уравнения поочередно:

1) \( \log_3(2 - x) = 2 \)

Используем свойство логарифма, которое гласит, что \( \log_a(b) = c \) равносильно \( a^c = b \). Применим это свойство:

\[ 3^2 = 2 - x \]

\[ 9 = 2 - x \]

\[ x = 2 - 9 \]

\[ x = -7 \]

2) \( \log_2(2x + 1) = 0 \)

Логарифм по основанию 2, равный 0, соответствует \( 2^0 = 1 \). Таким образом,

\[ 2x + 1 = 1 \]

\[ 2x = 0 \]

\[ x = 0 \]

3) \( 2\log^2(16 + x) - \log_{16}(x - 1) = 0 \)

Для удобства, давайте представим \( \log^2(16 + x) \) как \( (\log(16 + x))^2 \). Тогда уравнение станет:

\[ 2(\log(16 + x))^2 - \frac{\log(x - 1)}{\log(16)} = 0 \]

Решение этого уравнения может быть сложным и требует дополнительных шагов. Позвольте мне упростить его:

\[ (\log(16 + x))^2 - \frac{1}{4}(\log(x - 1))^2 = 0 \]

\[ (\log(16 + x))^2 = \frac{1}{4}(\log(x - 1))^2 \]

\[ 2\log(16 + x) = \pm \frac{1}{2}\log(x - 1) \]

Теперь решим два случая:

a) \( 2\log(16 + x) = \frac{1}{2}\log(x - 1) \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ 4\log^2(16 + x) = \frac{1}{4}\log^2(x - 1) \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ \log^2(16 + x) = \log^2(x - 1) \]

Теперь используем свойство логарифма, что если \( \log_a(b) = \log_a(c) \), то \( b = c \):

\[ 16 + x = x - 1 \]

Это уравнение не имеет решения, так как слева находится число больше 16, а справа - число меньше 0.

б) \( 2\log(16 + x) = -\frac{1}{2}\log(x - 1) \)

Повторим те же шаги:

\[ 4\log^2(16 + x) = \frac{1}{4}\log^2(x - 1) \]

\[ \log^2(16 + x) = -\log^2(x - 1) \]

Теперь используем свойство логарифма, что если \( \log_a(b) = -\log_a(c) \), то \( b = \frac{1}{c} \):

\[ 16 + x = \frac{1}{(x - 1)^2} \]

Умножим обе стороны на \( (x - 1)^2 \):

\[ (16 + x)(x - 1)^2 = 1 \]

Это уравнение сложнее, и его решение может потребовать дополнительных шагов.

4) \( \log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = 1 \)

Используем свойство логарифма \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) \):

\[ \log_2((x + 1)(x + 2)) = 1 \]

Теперь применим свойство логарифма \( \log_a(b) = c \) равносильно \( a^c = b \):

\[ 2^1 = (x + 1)(x + 2) \]

\[ 2 = x^2 + 3x + 2 \]

\[ x^2 + 3x - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = 3^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения для \( x \):

\[ x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \]

\[ x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \]

Итак, получили решения для всех четырех уравнений.