Question

1) Решите неравенство методом интервалов :а) (х-1)(х+9) ≥ 0б) -х² -12х < 0в) х² - 14х + 33 ≤ 02) Решите неравенство :а) (х+3)(х-5)(х-7) < 0б) х² (5х - 4)(х + 7) < 0

Answer 1

Решим методом интервалов.

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое из предложенных неравенств.

1) Решение неравенства (х-1)(х+9) ≥ 0

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем значения x, при которых выражение (х-1)(х+9) равно нулю, и разделим числовую ось на интервалы с использованием этих точек.

(х-1)(х+9) = 0

1. x - 1 = 0 => x = 1 2. x + 9 = 0 => x = -9

Теперь разделим числовую ось на три интервала: (-∞, -9), (-9, 1), (1, +∞).

Выберем тестовую точку из каждого интервала и проверим знак выражения (х-1)(х+9):

- Возьмем x = -10 (из интервала (-∞, -9)): (-10 - 1)(-10 + 9) = (-11)(-1) = 11 > 0

- Возьмем x = 0 (из интервала (-9, 1)): (0 - 1)(0 + 9) = (-1)(9) = -9 < 0

- Возьмем x = 2 (из интервала (1, +∞)): (2 - 1)(2 + 9) = (1)(11) = 11 > 0

Итак, решение неравенства (х-1)(х+9) ≥ 0 это x ∈ (-∞, -9] ∪ [1, +∞).

Теперь перейдем ко второму неравенству.

2) Решение неравенства х² - 14х + 33 ≤ 0

Сначала решим квадратное уравнение х² - 14х + 33 = 0, чтобы найти корни:

\(D = b² - 4ac\), где a = 1, b = -14, c = 33.

\(D = (-14)² - 4(1)(33) = 196 - 132 = 64\)

Корни уравнения будут \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1 = \frac{14 + \sqrt{64}}{2} = \frac{14 + 8}{2} = 11\)

\(x_2 = \frac{14 - \sqrt{64}}{2} = \frac{14 - 8}{2} = 3\)

Теперь разделим числовую ось на три интервала с использованием этих корней: (-∞, 3), (3, 11), (11, +∞).

Выберем тестовую точку из каждого интервала и проверим знак выражения \(х² - 14х + 33\):

- Возьмем x = 0 (из интервала (-∞, 3)): \(0² - 14 \cdot 0 + 33 = 33 > 0\)

- Возьмем x = 5 (из интервала (3, 11)): \(5² - 14 \cdot 5 + 33 = 25 - 70 + 33 = -12 < 0\)

- Возьмем x = 12 (из интервала (11, +∞)): \(12² - 14 \cdot 12 + 33 = 144 - 168 + 33 = 9 > 0\)

Итак, решение неравенства \(х² - 14х + 33 \leq 0\) это \(x \in (-∞, 3] ∪ [11, +∞)\).