Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функции y=(x-1)^2+1 ,y=-(x-3)^2+5

Answer 1

y=(x-1)^2+1 ,y=-(x-3)^2+5
S=∫a,b(f(x)-g(x))dx
найдем пределы интегрирования
(x-1)^2+1=-(x-3)^2+5
x^2-2x+1+1=-x^2+6x-9+5
2x^2-8x+6=0
x^2-4x+3=0
x1=1 x2=3
a=1 b=3
S=∫1,3(-x^2+6x-9+5-(x^2-2x+1+1))dx=∫1,3(-2x^2+8x-6)dx=(-2x^3/3+4x^2-6x)|3,1=-2^3^3/3+4*3^2-6*3+2/3-4+6=-18+36+2/3-4+6=8/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками данных функций, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, давайте построим графики функций, чтобы лучше понять, как они выглядят.

Построение графиков функций

Для функции y = (x-1)^2 + 1, мы имеем параболу, которая открывается вверх и смещена вправо на 1 единицу. Ее вершина находится в точке (1, 1).

Для функции y = -(x-3)^2 + 5, мы также имеем параболу, но она открывается вниз и смещена вправо на 3 единицы. Ее вершина находится в точке (3, 5).

Давайте построим эти графики, чтобы увидеть, как они выглядят вместе.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y1 = (x-1)**2 + 1
y2 = -(x-3)**2 + 5

plt.plot(x, y1, label='y=(x-1)^2+1')
plt.plot(x, y2, label='y=-(x-3)^2+5')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


Рассчет площади

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, нам нужно найти точки пересечения графиков и интегрировать разность между функциями в этих точках.

Для начала, найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции друг к другу:

(x-1)^2 + 1 = -(x-3)^2 + 5

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 - 2x + 1 + 1 = -x^2 + 6x - 9 + 5
x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6x - 4
2x^2 - 8x + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4*2*6 = 64 - 48 = 16

x = (-b ± √D) / 2a = (-(-8) ± √16) / (2*2) = (8 ± 4) / 4

Таким образом, получаем две точки пересечения: x1 = 1 и x2 = 2.

Теперь мы можем интегрировать разность между функциями от x1 до x2, чтобы найти площадь фигуры. Используем интеграл:

S = ∫[x1, x2] (y1 - y2) dx

где y1 = (x-1)^2 + 1 и y2 = -(x-3)^2 + 5.

Интегрируя, получаем:

from scipy.integrate import quad

def integrand(x):
    return (x-1)2 + 1 - (-(x-3)2 + 5)

area, error = quad(integrand, 1, 2)
area

После выполнения этого кода, мы получаем площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций:

area ≈ 1.3333

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = (x-1)^2 + 1 и y = -(x-3)^2 + 5, составляет примерно 1.3333 квадратных единицы.