Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції у=х^3+x^2 у точці з абсцисою х0=1

Answer 1

Y=f`(x0)(x-x0)+f(x0)
f(1)=2
f`(x)=3x^2+2x
f`(1)=5
y=5(x-1)+2
y=5x-3

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції \(y = x^3 + x^2\) у точці з абсцисою \(x_0 = 1\), нам знадобиться використовувати поняття похідної та тангенсу кута нахилу.

1. Знайдемо похідну функції \(y = x^3 + x^2\):

\[y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x.\]

2. Підставимо \(x_0 = 1\) у вираз для похідної, щоб знайти нахил тангенса у точці \(x_0\):

\[m = y'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 5.\]

Таким чином, нахил тангенса дотичної у точці \(x_0 = 1\) дорівнює 5.

3. Використаємо рівняння дотичної у формі \(y - y_0 = m(x - x_0)\). Підставимо значення \(x_0\), \(y_0\) та \(m\):

\[y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - f(1) = 5(x - 1).\]

4. Підставимо функцію \(f(x) = x^3 + x^2\):

\[y - (1^3 + 1^2) = 5(x - 1).\]

Спростимо рівняння:

\[y - 2 = 5(x - 1).\]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \(y = x^3 + x^2\) у точці з абсцисою \(x_0 = 1\) дорівнює:

\[y = 5x - 3.\]