Question

Помогите решить неравенство log(внизу)2(x2-x)≥log(внизу)2(x-1)+1

Answer 1

$log_2(x^2-x) \geq log_2(x-1)+1$


ОДЗ:

$\begin{cases}x^2-x\ \textgreater \ 0\\ x-1\ \textgreater \ 0\end{cases} ~~~~~\begin{cases}x(x-1)\ \textgreater \ 0\\ x-1\ \textgreater \ 0\end{cases}$

________$0$__________$1$_________

___________________$1$_________

$x\in(1;+\infty)$


Решение:

$log_2(x^2-x) \geq log_2(x-1)+1 \\ \\ log_2(x^2-x)- log_2(x-1) \geq 1 \\ \\ log_2 \frac{x^2-x}{x-1} \geq 1 \\ \\ log_2 \frac{x(x-1)}{x-1} \geq 1 \\ \\ log_2x \geq 1 \\ log_2x \geq log_22 \\ x \geq 2$

$x\in[2;+\infty)$

Общее решение:

одз  _________$1$________________
решение  ____________$2$________

Ответ:  $x\in[2;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами нужно применить некоторые свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Первым шагом мы можем применить свойство логарифма, которое гласит, что логарифм от произведения равен сумме логарифмов:

log₂(x² - x) ≥ log₂(x - 1) + 1

Шаг 2: Избавление от логарифма

Чтобы избавиться от логарифма, мы можем использовать свойство эквивалентности логарифма, которое гласит, что если логарифмы двух выражений равны, то и сами выражения равны:

x² - x ≥ (x - 1) * 2

Шаг 3: Упрощение и приведение подобных членов

Раскроем скобку справа:

x² - x ≥ 2x - 2

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Чтобы решить неравенство, мы должны перенести все члены в одну сторону. Для этого вычтем 2x и добавим 2:

x² - x - 2x + 2 ≥ 0

Шаг 5: Упрощение и факторизация

Объединим подобные члены:

x² - 3x + 2 ≥ 0

Теперь факторизуем левую часть неравенства:

(x - 2)(x - 1) ≥ 0

Шаг 6: Определение знаков

Рассмотрим знаки каждого множителя:

(x - 2) ≥ 0 и (x - 1) ≥ 0

Шаг 7: Решение неравенства

Теперь решим каждое неравенство отдельно.

Для (x - 2) ≥ 0, решение будет x ≥ 2.

Для (x - 1) ≥ 0, решение будет x ≥ 1.

Таким образом, общее решение неравенства будет x ≥ 2.

Итак, решением исходного неравенства log₂(x² - x) ≥ log₂(x - 1) + 1 является x ≥ 2.