Question

Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :)Дана последовательность натуральных чисел , причем , x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула где - последняя цифра числа .Доказать, что среди членов последовательности бесконечно много степеней двойки.

Answer 1

По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8

 

Так как ..2+2=...4;

...4+4=..8

..6+6=...2

...8+8...=6

то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.

 

Поэтому для любого n>1 $a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20$

а для любого t>1 $a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t$

 

Любое число $a_n, n>2$ получается имеет вид

$a_n=10m+2$либо $a_n=10m+4$ либо $a_n=10m+6$либо $a_n=10m+8$ где m -некоторое неотрицательное целое число

 

С двух членов последовательности $a_n=10m+2$ и  $a_{n+1}=10m+4$ хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

a_n=4l

Тогда $a_{n+4t}=4(l+5t)$

 

Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l

 

Answer 2

Давайте рассмотрим последовательность чисел. Пусть x1 - первый член последовательности, который не делится на 5. Рассмотрим все последующие члены последовательности.

По условию, для всех членов последовательности, начиная с x2, существует формула, в которой последняя цифра числа определяется как функция от предыдущего члена. Пусть эта формула имеет вид f(x), где x - предыдущий член последовательности, а f(x) - функция, определяющая последнюю цифру.

Теперь давайте рассмотрим члены последовательности, начиная с x2. Если x2 делится на 5, то применяем формулу f(x2), чтобы получить следующий член x3. Если x3 делится на 5, то снова применяем формулу и получаем x4, и так далее.

Если в какой-то момент появляется член xi, который не делится на 5, то мы можем применить формулу f(xi), чтобы получить следующий член xi+1. И так далее.

Теперь обратим внимание на последнюю цифру числа xi+1, полученного из формулы f(xi). Мы знаем, что xi не делится на 5, а следовательно, xi+1 не может оканчиваться на 5. Так как мы имеем дело с натуральными числами, последняя цифра xi+1 не может быть 0, и, следовательно, она не делится на 2.

Теперь давайте вернемся к x1, который не делится на 5. Мы показали, что из любого члена последовательности, не делящегося на 5, мы можем получить следующий член, который не делится на 2. Таким образом, мы можем построить бесконечную подпоследовательность членов, не делящихся на 2.

Таким образом, доказано, что среди членов последовательности бесконечно много степеней двойки.