Question

Докажите, что функция y=модуль от икс убывает на промежутке [-∞;0) и возрастает на промежутке [0;+∞)

Answer 1

$y=|x|$
Пусть $x_1,x_2\in [0,+\infty )$ и $x_1\ \textless \ x_2$ . Тогда

$y_1=|x_1|=x_1\; ,\; \; y_2=|x_2|=x_2\\\\Tak\; kak\; x_1\ \textless \ x_2,\; \; to\; \; y_1\ \textless \ y_2.$

Меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит функция на промежутке $[0,+\infty )$ возрастающая (по определению).
Пусть $x_1\ \textgreater \ 0,x_2\ \textgreater \ 0$, и пусть  $-x_1\ \textless \ -x_2$,
  $-x_1,-x_2\in (-\infty ,0)$ .
Сравним теперь значения функции в этих точках:

$a=-x_1\; ,\; b=-x_2\; ,\; \to \; \; a\ \textless \ b$

$y_1=y(a)=y(-x_1)=|-x_1|=x_1\; ,y_2=y(b)=y(-x_2)=|-x_2|=x_2\\\\a<b\; \; \Rightarrow \; \; y_1=y(a)>y_2=y(b)$

Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. 
Значит, функция на промежутке  $(-\infty ,0)$ убывающая.

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с этим вопросом!

Функция \( y = |x| \) представляет собой модуль числа \( x \). Напомню, что модуль числа — это его абсолютное значение, то есть модуль отрицательного числа равен его положительному аналогу, а модуль положительного числа остается самим собой.

Чтобы понять, убывает ли функция \( y = |x| \) на интервале \([-∞;0)\) или возрастает на интервале \([0; +∞)\), давайте рассмотрим производные функции на этих интервалах.

1. Интервал \([-∞;0)\): На этом интервале \( x \) принимает отрицательные значения. Для отрицательных чисел модуль равен их противоположному положительному числу: \( |x| = -x \). Таким образом, на интервале \([-∞;0)\) функция \( y = |x| \) совпадает с функцией \( y = -x \), которая является прямой с положительным коэффициентом наклона (-1).

Производная функции \( y = |x| \) на интервале \([-∞;0)\) будет равна производной функции \( y = -x \). Производная константы \( -x \) равна -1 для всех значений \( x \) на интервале \([-∞;0)\). Это означает, что функция убывает со скоростью 1 на этом интервале.

2. Интервал \([0; +∞)\): На этом интервале \( x \) принимает неотрицательные значения. Для неотрицательных чисел модуль равен самому числу: \( |x| = x \). Таким образом, на интервале \([0; +∞)\) функция \( y = |x| \) совпадает с функцией \( y = x \), которая также является прямой с положительным коэффициентом наклона (1).

Производная функции \( y = |x| \) на интервале \([0; +∞)\) будет равна производной функции \( y = x \). Производная функции \( y = x \) равна 1 для всех значений \( x \) на интервале \([0; +∞)\). Это означает, что функция возрастает со скоростью 1 на этом интервале.

Таким образом, функция \( y = |x| \) убывает на интервале \([-∞;0)\) и возрастает на интервале \([0; +∞)\).