Question

Запишите уравнение, графиком которого является множество точек плоскости, состоящие из: а) окружности с центром в точке К(2;3) и радиусом 5, а также пары прямых, касающихся данной окружности и перпендикулярных оси Ох б) параболы и прямой, проходящих через точки О (0;0) и А(2;2)

Answer 1

А)Уравнение окружности  (x-2)^2+(y-3)^2=25    уравнения прямых  х=-3   и  х=7      б) Уравнение параболы  y=1/2x^2,  уравнение прямой  у=х

Answer 2

а) Начнем с уравнения окружности с центром в точке К(2,3) и радиусом 5. Уравнение окружности имеет вид:

\[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2.\]

Теперь рассмотрим прямые, касающиеся данной окружности и перпендикулярные оси Ox. Если прямая касается окружности, то радиус в точке касания будет перпендикулярен касательной. Таким образом, уравнение такой прямой будет иметь следующий вид:

\[y - 3 = -\frac{x - 2}{k},\]

где \(k\) - угловой коэффициент, который мы должны определить. Учитывая, что прямая перпендикулярна оси Ox, угловой коэффициент радиуса и касательной будет равен -1. Таким образом, уравнение прямых будет:

\[y - 3 = \frac{x - 2}{k},\]

где \(k = -1\). Таким образом, уравнение прямых, касающихся окружности и перпендикулярных оси Ox, будет:

\[y - 3 = -(x - 2).\]

б) Теперь рассмотрим параболу и прямую, проходящие через точки O(0,0) и A(2,2). Уравнение параболы в общем виде имеет вид:

\[y = ax^2 + bx + c.\]

Мы можем использовать координаты точек O(0,0) и A(2,2), чтобы составить систему уравнений и определить значения коэффициентов a, b, и c.

Подставим координаты точки O(0,0):

\[0 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \Rightarrow c = 0.\]

Теперь подставим координаты точки A(2,2):

\[2 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2.\]

Упростим это уравнение:

\[2 = 4a + 2b.\]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 2 = 4a + 2b \\ c = 0 \end{cases}.\]

Решив эту систему, мы найдем значения a, b и c. После нахождения этих значений, у нас будет уравнение параболы. Далее, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки O(0,0) и A(2,2), можно использовать уравнение прямой в общем виде:

\[y = mx + b.\]

Подставим координаты точек O(0,0) и A(2,2) и решим систему уравнений для определения значений m и b.

Таким образом, мы можем составить уравнения для параболы и прямой, проходящих через заданные точки.