Question

34балла докажите тождество sin^2(альфа)-cos^2(альфа)+1=2sin^2(альфа)

Answer 1

Sin²a - cos²a + 1 = 2sin²a
Переставим местами 1 и -cos²a.
sin²a + 1 - cos²a = 2sin²a.
Мы знаем, что sin²a + cos²a = 1. Тогда:
sin²a + sin²a = 2sin²a
2sin²a = 2sin²a.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса.

Начнем с левой стороны тождества: sin^2(альфа) - cos^2(альфа) + 1

Мы можем использовать тождество sin^2(альфа) + cos^2(альфа) = 1 (тождество Пифагора) для замены cos^2(альфа) в выражении: sin^2(альфа) - (1 - sin^2(альфа)) + 1

Раскроем скобки и упростим: sin^2(альфа) - 1 + sin^2(альфа) + 1 2sin^2(альфа)

Таким образом, мы получили правую сторону тождества. Таким образом, мы доказали, что sin^2(альфа) - cos^2(альфа) + 1 = 2sin^2(альфа).

Давайте рассмотрим пример числового значения для наглядности: Пусть альфа = 30 градусов. Тогда левая сторона тождества будет равна: sin^2(30) - cos^2(30) + 1 = (1/2)^2 - (√3/2)^2 + 1 = 1/4 - 3/4 + 1 = 1/4 + 1/4 = 1/2

А правая сторона: 2sin^2(30) = 2 * (1/2)^2 = 2 * 1/4 = 1/2

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны равны, подтверждая тождество.

Таким образом, мы доказали тождество sin^2(альфа) - cos^2(альфа) + 1 = 2sin^2(альфа).