Question

Задание с параметром:Для всех а решить неравенство:(2ax+3)/(5x-4a)<4

Answer 1

Такая-то наркомания

 

Случай 1.     5x - 4a > 0, т.е x > 4a/5, тогда

2ax + 3 < 20x - 16a

x(20-2a) > 16a + 3

подслучай А1.   20 - 2a > 0, т.е. a<10, тогда

x > (16a + 3) / (20 - 2a)

т.к. икс должен быть больше 4a/5, посмотрим при каких а (16a+3)/(20-2a) > 4a/5

не забываем что a<10

80a+15 > 80a - 8a^2

8a^2 > -15

видно что для всех а это выполняется

значит при a<10 x > (16a+3)/(20-2a) это часть ответа

подслучай Б1.   20-2a < 0, т.е. a>10, тогда

x < (16a + 3) / (20 - 2a)

т.к. икс должен быть больше 4a/5, посмотрим при каких а (16a+3)/(20-2a) > 4a/5

не забываем что a>10

80a+15 < 80a - 8a^2

8a^2 < -15

видно что ни при каких а не выполняется

подслучай В1. 20-2a = 0, т.е. a = 10

x(20-2*10) > 16*10 + 3

x* 0 > 163, видно что решений нет

 

Случай 2.     5x - 4a < 0, т.е x < 4a/5, тогда

2ax + 3 > 20x - 16a

x(20-2a) < 16a + 3

подслучай А2.   20 - 2a > 0, т.е. a<10, тогда

x < (16a + 3) / (20 - 2a)

т.к. икс должен быть меньше 4a/5, посмотрим при каких а (16a+3)/(20-2a) > 4a/5

не забываем что a<10

80a+15 > 80a - 8a^2

8a^2 > -15

видно что для всех а это выполняется

значит при a<10 x < 4a/5 это часть ответа

подслучай Б2.   20-2a < 0, т.е. a>10, тогда

x > (16a + 3) / (20 - 2a)

т.к. икс должен быть меньше 4a/5, посмотрим при каких а (16a+3)/(20-2a) < 4a/5

не забываем что a>10

80a+15 > 80a - 8a^2

8a^2 > -15

видно что для любых а выполняется, значит при а > 10 4a/5 > x > (16a + 3) / (20 - 2a) это часть ответа.

подслучай В2. 20-2a = 0, т.е. a = 10

x(20-2*10) < 16*10 + 3

x* 0 < 163, видно для любого икса выполняется, а учитывая что икс должен быть меньше 4a/5 получается что x < 4*10/5, т.е. x < 8 при а = 10 и это часть ответа.

Объединяем все найденные решения и получаем ответ.

Ответ:

при а = 10            x < 8

при a < 10            x > (16a + 3) / (20 - 2a), x < 4a/5

при а > 10            4a/5 > x > (16a + 3) / (20 - 2a)

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(\frac{2ax + 3}{5x - 4a} < 4\) для всех \(x\), мы будем следовать определенным шагам. Давайте начнем:

1. Находим область допустимых значений: Для этого нужно исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль недопустимо: \[5x - 4a \neq 0\] Решим это уравнение относительно \(x\): \[5x \neq 4a\] \[x \neq \frac{4a}{5}\] Таким образом, область допустимых значений \(x\) - это все значения, кроме \(\frac{4a}{5}\).

2. Находим общий знаменатель: Умножим обе стороны неравенства на знаменатель \((5x - 4a)\), чтобы избавиться от дроби в левой части: \[(2ax + 3) < 4(5x - 4a)\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем выражение: \[2ax + 3 < 20x - 16a\] Переносим все члены на одну сторону: \[0 < 18x - 18a\] Разделяем на 18: \[0 < x - a\]

4. Добавляем область допустимых значений: Так как \(x \neq \frac{4a}{5}\), мы должны добавить это ограничение: \[0 < x - a, \quad x \neq \frac{4a}{5}\]

5. Итоговый ответ: Таким образом, решение неравенства \(\frac{2ax + 3}{5x - 4a} < 4\) для всех \(x\) — это: \[0 < x - a, \quad x \neq \frac{4a}{5}\] или в интервальной форме: \((a, \frac{4a}{5}) \cup (\frac{4a}{5}, +\infty)\).