Question

Найдите все значения a при каждом из которых уравнение x^4+4x^2-10=(a+3)*x^2 не имеет корней принадлежащих промежутку (-

Answer 1

Найдите все значения параметра а

$\displaystyle (x^4+4x^2-10)=(a+3)*x^2$

не имеет корней на промежутке [-√5;2)

Преобразуем наше уравнение

$\displaystyle x^4+x^2(4-a-3)-10=0 x^4+x^2(1-a)-10=0$

введем замену переменной

$\displaystyle t=x^2$

тогда уравнение примет вид

$\displaystyle t^2+t(1-a)-10=0$ где t≥0

Для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо чтобы D>0
найдем D

$\displaystyle D=(1-a)^2+40=1-2a+a^2+40=a^2-2a+41$

посмотрим при каких а дискриминант будет больше 0

$\displaystyle a^2-2a+41\ \textgreater \ 0$
очевидно что при любых а 

найдем корни уравнения

$\displaystyle t_1= \frac{-(1-a)+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

$\displaystyle t_2= \frac{-(1-a)- \sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

так как t≥0
проверим наши корни

$\displaystyle a-1- \sqrt{a^2-2a+41}\ \textgreater \ 0$

$\displaystyle a-1\ \textgreater \ \sqrt{a^2-2a+41}$

$\displaystyle a^2-2a+1\ \textgreater \ a^2-2a+41$

очевидно что этот корень нам не подходит
проверив аналогично убедимся что второй корень нам подходит
т.е. 
$\displaystyle t=x^2= \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

Теперь найдем корни уравнения

$\displaystyle x_1= \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}}$

$\displaystyle x_2=- \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}}$

так как наш промежуток [-√5;2) то положительный корень при любых а не попадет в этот промежуток.
Достаточно рассмотреть только отрицательный корень

$\displaystyle - \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}} \leq-\sqrt{5}$
$\displaystyle - \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2} }\ \textgreater \ -2$

$\displaystyle \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2} } \geq\sqrt{5}$
$\displaystyle \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}}\ \textless \ 2$

решим эти два неравенства
$\displaystyle \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}}\ \textless \ 2 a-1+ \sqrt{a^2-2a+41} \ \textless \ 8 \sqrt{a^2-2a+41}\ \textless \ 9-a a^2-2a+41\ \textless \ 81-18a+a^2$
$\displaystyle a\ \textless \ 2.5$

$\displaystyle \sqrt{ \frac{a-1+ \sqrt{a^2-2a+41}}{2}} \geq \sqrt{5} a-1+ \sqrt{a^2-2a+41} \geq 10 \sqrt{a^2-2a+41} \geq 11-a a^2-2a+41 \geq 121-22a+a^2 a \geq 4$


 ответ (-оо;2.5)∪[4;+oo)

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос подробно. Для этого я воспользуюсь результатами поиска в Интернете, которые я получил с помощью своего инструмента поиска в Интернете.

Уравнение x^4 + 4x^2 - 10 = (a + 3)x^2 не имеет корней, принадлежащих промежутку (-∞; 0), если дискриминант квадратного трехчлена x^4 + (4 - a - 3)x^2 - 10 отрицателен. То есть, если

(4 - a - 3)^2 - 4 * 1 * (-10) < 0

Решая это неравенство, получаем:

-5 < a < 9

Значит, уравнение не имеет корней, принадлежащих промежутку (-∞; 0), при всех значениях a из интервала (-5; 9).

Если же мы хотим найти значения a, при которых уравнение не имеет корней, принадлежащих промежутку (0; +∞), то мы должны рассмотреть случай, когда дискриминант квадратного трехчлена x^4 - (a + 3)x^2 - 10 отрицателен. То есть, если

-(a + 3)^2 - 4 * 1 * (-10) < 0

Решая это неравенство, получаем:

a < -7 или a > 1

Значит, уравнение не имеет корней, принадлежащих промежутку (0; +∞), при всех значениях a, не принадлежащих отрезку [-7; 1].

Надеюсь, что мой ответ был полезен для вас. Если вы хотите узнать больше о задачах с параметрами на ЕГЭ по математике, вы можете посмотреть следующие источники:

- [Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике](https://mathus.ru/math/ege20.pdf) - [ЕГЭ Математика. Задача 20](http://kolesnikovalud.ru/EGE/prototip/18otvet-yakovlev.pdf) - [ЕГЭ–2023: задания, ответы, решения](https://ege.sdamgia.ru/problem?id=511214)