Question

Найдите такое натуральное р, при котором во множестве решений неравенства (х-1)(2р-х)>=0 содержится 6 натуральных чисел.

Answer 1

Х^2-(2p+1)x+2p<=0
(x-(p+0,5))^2<=p^2-p+0,25
-p+0,5<=x-(p+0,5)<=p-0,5
1<=x<=2p

При p=3  множество решений содержит числа 1,2,3,4,5,6
если  3<=р<3,5 количество натуральных решений такое же.
При других натуральных р количество натуральных решений больше или меньше, поэтому
Ответ:  р=3 

Answer 2

Конечно, давайте разберём эту задачу.

Неравенство \((x-1)(2p-x) \geq 0\) описывает условия, при которых произведение двух выражений больше или равно нулю. Чтобы понять, при каких значениях \(p\) это неравенство имеет 6 натуральных чисел в качестве решений, можно воспользоваться графиком или аналитическим подходом.

Рассмотрим произведение \((x-1)(2p-x)\):

- Когда \(x = 1\), выражение равно нулю: \((1-1)(2p-1) = 0\). Это крайний случай, который даёт ноль. - Посмотрим, как изменяется знак выражения при разных значениях \(x\) относительно \(p\). Нам нужны значения \(x\), при которых произведение будет неотрицательным или равным нулю.

Составим таблицу возможных случаев в зависимости от \(x\) и \(p\), когда \(x\) - натуральное число:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2p-x & \text{Произведение} \\ \hline 1 & 2p-1 & 0 \\ 2 & 2p-2 & (2-p)(p-1) \\ 3 & 2p-3 & (3-p)(p-2) \\ 4 & 2p-4 & (4-p)(p-3) \\ 5 & 2p-5 & (5-p)(p-4) \\ 6 & 2p-6 & (6-p)(p-5) \\ \hline \end{array} \]

Чтобы получить неотрицательное или нулевое произведение, мы ищем случаи, когда один из множителей равен нулю или оба множителя имеют одинаковые знаки. Это происходит, когда \(p\) находится между значениями, при которых множители обращаются в ноль или когда они оба положительные или оба отрицательные.

Теперь, чтобы учесть 6 натуральных чисел в решении, нужно, чтобы различные пары \(x\) и \(p\) дают одни и те же значения произведения.

Посмотрим на таблицу:

1. Когда \(p = 1\), все множители положительные или равны нулю для \(x = 1, 2, 3, 4, 5, 6\). 2. Когда \(p = 2\), значения также подходят для всех \(x\) от 1 до 5 включительно.

Таким образом, \(p = 1\) и \(p = 2\) оба соответствуют условию, что во множестве решений содержится 6 натуральных чисел.

Итак, найдено два значения \(p\), при которых условие задачи выполняется: \(p = 1\) и \(p = 2\).