Question

Интеграл (x^3+2x^2+4x+3)/x+1 по dx

Answer 1

$\int\limits { \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} } \, dx =$


  x³+2x²+4x+3 | x+1
- x³+x²             ---------  
----------            x²+x+3
        x²+4x  
      -x²+x
      -----------
            3x+3
          -  3x+3
           ---------
                  0

(x³+2x²+4x+3):(x+1)=x²+x+3

$\int\limits{ \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} } \, dx= \int\limits{(x^2+x+3} )\, dx= \frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2}+3x+C$
       

Answer 2

Вычисление интеграла ∫((x^3 + 2x^2 + 4x + 3)/(x + 1)) dx

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод разложения на простые дроби или метод частных производных. В данном случае, я расскажу о методе разложения на простые дроби.

1. Делим числитель на знаменатель: (x^3 + 2x^2 + 4x + 3) / (x + 1)

2. Разлагаем полученную дробь на сумму простых дробей: (x^3 + 2x^2 + 4x + 3) / (x + 1) = A + (Bx + C) / (x + 1)

3. Умножаем обе части на (x + 1), чтобы избавиться от знаменателя: (x^3 + 2x^2 + 4x + 3) = A(x + 1) + (Bx + C)

4. Раскрываем скобки и группируем одинаковые степени x: x^3 + 2x^2 + 4x + 3 = Ax + A + Bx^2 + Cx + Bx + C

5. Собираем коэффициенты при одинаковых степенях x: x^3: A = 1 x^2: B = 2 x: A + C + B = 4 константы: A + C = 3

6. Решаем систему уравнений для получения значений A, B и C: A = 1 B = 2 C = 2

Таким образом, мы получили разложение исходной функции на простые дроби: (x^3 + 2x^2 + 4x + 3) / (x + 1) = 1 + (2x + 2) / (x + 1)

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫((x^3 + 2x^2 + 4x + 3)/(x + 1)) dx = ∫(1 + (2x + 2) / (x + 1)) dx

Вычислим каждый из интегралов по отдельности:

∫1 dx = x + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

∫(2x + 2) / (x + 1) dx = 2∫(x + 1) / (x + 1) dx = 2∫dx = 2x + C2, где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, окончательный результат:

∫((x^3 + 2x^2 + 4x + 3)/(x + 1)) dx = x + C1 + 2x + C2 = 3x + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫((x^3 + 2x^2 + 4x + 3)/(x + 1)) dx равен 3x + C, где C - произвольная постоянная.