Question

Докажите что : 1) если a-b<0 то a<b2) если 0<a<b то a^2<b^23) если a<b и c<0 то ac>bc4) если a<b<0 то a^2>b^2

Answer 1

$1)\; a-b<0\; \to\; (a-b)+b<0+b,\; \; a<b$

2)  0<a<b   --->  a-b<0, a+b>0
    a²-b²=(a-b)(a+b)=[(-)*(+)]<0   --->  a²<b²
3)  a<b  --->  a-b<0,  c<0
  ac-bc=c(a-b)= [(-)*(-)]>0  --->  ac>bc
4)  a<b<0  --->  a-b<0,  a+b<0  [(-)+(-)=(-)]
  a²-b²=(a-b)(a+b)=[(-)*(-)=(+)]>0   --->   a²>b²

Answer 2

1)a-b<0⇒a<b
перенос слагаемого в другую часть с противоположным знаком
2)При возведении в квадрат положительных чисел знак неравенства сохраняется
3)При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
4)При возведении в квадрат отрицательных чисел знак неравенства меняется

Answer 3

Давайте докажем каждое из утверждений.

1) Если \(a - b < 0\), то \(a < b\):

Исходное утверждение: \(a - b < 0\)

Добавим \(b\) к обеим сторонам неравенства: \(a - b + b < 0 + b\)

Упростим: \(a < b\)

Таким образом, утверждение подтверждается.

2) Если \(0 < a < b\), то \(a^2 < b^2\):

Исходное утверждение: \(0 < a < b\)

Умножим все части неравенства на \(a\): \(0 \cdot a < a \cdot a < b \cdot a\)

Упростим: \(0 < a^2 < ab\)

Так как \(a < b\), мы можем умножить неравенство на \(b\): \(0 < ab < b^2\)

Теперь объединим два неравенства: \(0 < a^2 < ab < b^2\)

Следовательно, утверждение также подтверждается.

3) Если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\):

Исходное утверждение: \(a < b\) и \(c < 0\)

Умножим обе части неравенства \(a < b\) на отрицательное число \(c\): \(ac > bc\)

Таким образом, утверждение также подтверждается.

4) Если \(a < b < 0\), то \(a^2 > b^2\):

Исходное утверждение: \(a < b < 0\)

Умножим обе стороны неравенства на \(a\): \(a \cdot a > a \cdot b > a \cdot 0\)

Упростим: \(a^2 > ab > 0\)

Так как \(a < b < 0\), то умножим на \(b\): \(a^2 > ab > b^2\)

Таким образом, утверждение также подтверждается.

Таким образом, все четыре утверждения доказаны.