Question

Докажите тождество: (b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)=0

Answer 1

Все перемножим и приведем подобные члены:

bc+c^2-2ac-b^2-bc+2ab+ac+a^2-2ab-c^2-ac+2bc-a^2-ab+2ac+ab+b^2-2bc=0, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем начать с раскрытия скобок:

(b+c-2a)(c-b) = (bc - b^2 + c^2 - bc) = c^2 - b^2 (c+a-2b)(a-c) = (ca - ac + a^2 - c^2) = a^2 - c^2 (a+b-2c)(a-b) = (ab - b^2 + a^2 - ab) = a^2 - b^2

Теперь мы можем заменить эти выражения в исходном тождестве:

(c^2 - b^2) + (a^2 - c^2) - (a^2 - b^2) = 0

Заметим, что многие члены сокращаются:

-c^2 + c^2 + a^2 - a^2 + b^2 - b^2 = 0

Остаётся:

0 = 0

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество (b+c-2a)(c-b) + (c+a-2b)(a-c) - (a+b-2c)(a-b) = 0 верно.