Question

Определенный интеграл , от pi/2 до 0 : cos^2*x/4 dx

Answer 1

$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0 {\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0 {(1+cos\frac{x}{2})} \, dx =\\\\= \frac{1}{2}\cdot (x+2\cdot sin\frac{x}{2} )\Big |_{\frac{\pi}{2}}^0= \frac{1}{2}\cdot (0-\frac{\pi}{2}-2\cdot sin\frac{\pi}{4} )=\\\\= \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\pi}{2}-2\cdot \frac{\sqrt2}{2})= -\frac{1}{2}\cdot ( \frac{\pi}{2}+\sqrt2)\; ;$

Answer 2

Для решения данного определенного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Замена переменной

Для начала, давайте сделаем замену переменной. Пусть u = sin(x/2). Тогда можно выразить переменную x через переменную u следующим образом: x = 2 * arcsin(u).

Изменение пределов интегрирования

Теперь, когда мы заменили переменную, давайте посмотрим на изменение пределов интегрирования. Исходный интеграл имеет пределы от pi/2 до 0. Используя новую переменную, мы можем изменить пределы следующим образом:

x = pi/2 соответствует u = sin((pi/2)/2) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2, x = 0 соответствует u = sin(0/2) = sin(0) = 0.

Вычисление дифференциала dx

Для вычисления дифференциала dx, нам понадобится производная от уравнения x = 2 * arcsin(u). Мы можем выразить dx через du следующим образом:

dx = 2 * du / sqrt(1 - u^2).

Подстановка новых пределов интегрирования и дифференциала

Теперь мы можем подставить новые пределы интегрирования и дифференциал в исходный интеграл. Получим:

∫[pi/2, 0] cos^2(x/4) dx = ∫[sqrt(2)/2, 0] cos^2((2 * arcsin(u))/4) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)).

Упрощение выражения

Для упрощения выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества. В данном случае, мы можем использовать тождество:

cos^2(a) = (cos(2a) + 1) / 2.

Применим это тождество к нашему интегралу:

∫[sqrt(2)/2, 0] cos^2((2 * arcsin(u))/4) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)) = ∫[sqrt(2)/2, 0] ((cos(2 * (2 * arcsin(u))/4) + 1) / 2) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)).

Упрощение дальше

Мы можем продолжить упрощение, раскрывая косинус и упрощая дроби:

∫[sqrt(2)/2, 0] ((cos(2 * (2 * arcsin(u))/4) + 1) / 2) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)) = ∫[sqrt(2)/2, 0] ((cos((pi/2) * arcsin(u)) + 1) / 2) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)) = ∫[sqrt(2)/2, 0] ((u + 1) / 2) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)).

Упрощение еще раз

Мы можем продолжить упрощение, упростив дробь и убрав константы:

∫[sqrt(2)/2, 0] ((u + 1) / 2) * (2 * du / sqrt(1 - u^2)) = ∫[sqrt(2)/2, 0] (u + 1) * (du / sqrt(1 - u^2)) = ∫[sqrt(2)/2, 0] (u * du / sqrt(1 - u^2)) + ∫[sqrt(2)/2, 0] (du / sqrt(1 - u^2)).

Решение первого интеграла

Первый интеграл ∫[sqrt(2)/2, 0] (u * du / sqrt(1 - u^2)) является интегралом от u, который можно решить простой заменой переменной. Пусть z = 1 - u^2. Тогда dz = -2u * du. Подставляя это в интеграл, получим:

∫[sqrt(2)/2, 0] (u * du / sqrt(1 - u^2)) = -1/2 ∫[sqrt(2)/2, 0] (dz / sqrt(z)) = -1/2 * 2 * √z |_sqrt(2)/2^0.

Вычислим этот интеграл:

-1/2 * 2 * √z |_sqrt(2)/2^0 = - √(1 - u^2) |_sqrt(2)/2^0 = - √(1 - (sqrt(2)/2)^2) - (- √(1 - 0^2)) = - √(1 - 1/2) - (- √(1 - 0)) = - √(1/2) + √1 = - √2/2 + 1.

Решение второго интеграла

Второй интеграл ∫[sqrt(2)/2, 0] (du / sqrt(1 - u^2)) является интегралом от 1, который равен arcsin(u). Вычислим этот интеграл:

∫[sqrt(2)/2, 0] (du / sqrt(1 - u^2)) = arcsin(u) |_sqrt(2)/2^0 = arcsin(sqrt(2)/2) - arcsin(0) = pi/4 - 0 = pi/4.

Итоговый ответ

Таким образом, определенный интеграл от pi/2 до 0 от cos^2(x/4) dx равен:

- √2/2 + 1 + pi/4.