Question

СРОЧНО!!! доказать что на множестве всех действительных чисел функция 1)y=-3x+1 убывает; 2)y(x)=x^3 возрастает

Answer 1

Доказать что на множестве  ВСЕХ  действительных чисел функция
1)y=-3x+1 убывает  ;   2)  y(x)=x^3 возрастает .

1) y = - 3x+1 убывает;
-------------------
у↓ 

 y₂ -y₁ = - 3(x₂) +1 - ( -3(x₁) +1) = -3(x₂ - x₁) .
y₂ -y₁ = -3(x₂ - x₁)  из этого равенства следует, если x₂ - x₁ > 0 то y₂ -y₁< 0 или  по другому x₂ > x₁⇒ y₂ < y₁ (а это определение убывающей функции) . 
* * * для старшеклассников  * * *
у ' =(-3x+1) ' = -3 < 0 ⇒функция убывающая .
----------------
2)  y(x)=x³ возрастает
-------------------
у↑ - ? 
 y(x₂) -y(x₁) =x₂³ -x₁³ =(x₂ - x₁)(x₂² + x₂x₁ +x₁²) =(x₂ - x₁)((x₂²+x₁/2²)+3x₁²/4) .
 y(x₂) -y(x₁) = (x₂ - x₁)((x₂²+x₁/2²)+3x₁²/4) из этого равенства следует, если x₂ - x₁ > 0 то        y₂ -y₁> 0 или  по другому x₂ > x₁⇒ y₂> y₁ (а это определение возрастающей функции) . 

* * * для старшеклассников  с  помощью производной  * * *

Answer 2

1) Чтобы доказать, что функция y = -3x + 1 убывает на множестве всех действительных чисел, нужно показать, что для любых двух чисел x1 и x2, таких что x1 < x2, выполнено неравенство y(x1) > y(x2).

Для этого подставим x1 и x2 в функцию y = -3x + 1:

y(x1) = -3*x1 + 1 y(x2) = -3*x2 + 1

Так как x1 < x2, то -3*x1 > -3*x2, и следовательно -3*x1 + 1 > -3*x2 + 1. То есть y(x1) > y(x2).

Таким образом, функция y = -3x + 1 убывает на множестве всех действительных чисел.

2) Чтобы доказать, что функция y(x) = x^3 возрастает на множестве всех действительных чисел, нужно показать, что для любых двух чисел x1 и x2, таких что x1 < x2, выполнено неравенство y(x1) < y(x2).

Для этого подставим x1 и x2 в функцию y(x) = x^3:

y(x1) = x1^3 y(x2) = x2^3

Так как x1 < x2, то x1^3 < x2^3, так как возведение в степень сохраняет порядок чисел. То есть y(x1) < y(x2).

Таким образом, функция y(x) = x^3 возрастает на множестве всех действительных чисел.