Question

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл преобразуя по формуле 1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] интеграл от внизу П/2 до П cosxcos2xdx

Answer 1

$\int\limits^ \pi _ { \pi /2} {(\cos x\cos2x) } \, dx= \int\limits^ \pi _ { \pi /2} {( \frac{1}{2} (\cos (x+2x)+\cos(x-2x) ))} \, dx \\\ =\frac{1}{2} \int\limits^ \pi _ { \pi /2} { (\cos 3x+\cos x}) \, dx=\frac{1}{2}(\sin3x\cdot \frac{1}{3}+\sin x )|^ \pi _ { \pi /2}= \\\ =(\frac{1}{6}\sin3x+\frac{1}{2}\sin x )|^ \pi _ { \pi /2}= \frac{1}{6}\sin3 \pi+\frac{1}{2}\sin \pi -\frac{1}{6}\sin \frac{3 \pi }{2} -\frac{1}{2}\sin \frac{ \pi }{2}= \\\ =0+0-\frac{1}{6}\cdot(-1)- \frac{1}{2} \cdot1=-\frac{1}{3}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать формулу половинного угла для тригонометрической функции. Формула половинного угла для функции cos(x) выглядит следующим образом:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Мы можем применить эту формулу к нашему интегралу, заменив cos^2(x) на (1 + cos(2x)) / 2. Также, мы можем использовать формулу суммы и разности для тригонометрических функций:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Теперь, давайте применим эти формулы к нашему интегралу:

Шаг 1: Преобразование интеграла

Мы можем преобразовать интеграл, используя формулу половинного угла для cos^2(x):

∫[cos(x)cos^2(2x)]dx = ∫[cos(x)(1 + cos(4x))/2]dx

Шаг 2: Применение формулы суммы и разности

Теперь мы можем применить формулу суммы и разности для cos(a + b) и cos(a - b):

∫[cos(x)(1 + cos(4x))/2]dx = (1/2)∫[cos(x) + cos(x)cos(4x)]dx

Шаг 3: Вычисление интегралов

Теперь мы можем вычислить каждый из интегралов по отдельности:

∫cos(x)dx = sin(x) + C

∫cos(x)cos(4x)dx = (1/5)sin(4x) + (1/20)sin(5x) + C

Шаг 4: Замена обратно

Теперь, заменим каждый из интегралов обратно в исходный интеграл:

(1/2)∫[cos(x) + cos(x)cos(4x)]dx = (1/2)(sin(x) + (1/5)sin(4x) + (1/20)sin(5x)) + C

Таким образом, интеграл преобразуется по формуле 1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] в интеграл:

(1/2)(sin(x) + (1/5)sin(4x) + (1/20)sin(5x)) + C

Где C - постоянная интегрирования.