Question

Знайдіть кількість коренів рівняння 2sin^2-sinx=o на проміжку [0;π)

Answer 1

$2sin^2x-sinx=0,\quad x\in [0,\pi )\\\\sinx(2sinx-1)=0\\\\sinx=0,\; x=\pi n,n\in Z\\\\sinx=\frac{1}{2},\; x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k,k\in Z$

Answer 2

Щоб знайти кількість коренів рівняння 2sin^2(x) - sin(x) = 0 на проміжку [0, π), спочатку перейдемо до альтернативного вигляду рівняння.

Помітимо, що у рівнянні є два доданки, які містять синус. Ми можемо факторизувати це рівняння, витягнувши спільний множник sin(x) з обох доданків:

sin(x)(2sin(x) - 1) = 0

Тепер ми маємо добуток двох членів, який дорівнює нулю. Згідно з властивостями добутків, це означає, що або перший множник, sin(x) = 0, або другий множник, 2sin(x) - 1 = 0, дорівнює нулю.

Розглянемо спочатку перший множник, sin(x) = 0. Це рівняння має корені на проміжку [0, π], оскільки sin(x) дорівнює нулю для x = 0, π, 2π і так далі. Зауважте, що x = 0 є включеним до проміжку, але x = π є виключеним.

Тепер розглянемо другий множник, 2sin(x) - 1 = 0. Щоб знайти корені цього рівняння, ми розв'язуємо його відносно sin(x):

2sin(x) - 1 = 0 sin(x) = 1/2

Знаючи тригонометричні значення, ми знаходимо два корені на проміжку [0, π], які задовольняють це рівняння: x = π/6, x = 5π/6.

Отже, загалом, рівняння 2sin^2(x) - sin(x) = 0 має три корені на проміжку [0, π): x = 0, x = π/6, x = 5π/6.