Question

Найдите наибольшее значение функции y=(x+7)^2(x-1)+6 на отрезке {-13;-6}

Answer 1

$\\ y=(x+7)^2(x-1)+6 \\ y'=2(x+7)(x-1)+(x+7)^2\\ y'=(x+7)(2(x-1)+x+7)\\ y'=(x+7)(2x-2+x+7)\\ y'=(x+7)(3x+5)\\ (x+7)(3x+5)=0\\ x=-7\vee x=-\frac{5}{3}$

 

-7∈[-13,-6]

при x∈[-∞,-7] y'>0 ⇒ функция возрастает

при x∈[-7,-5/3] y'<0 ⇒ функция убывает

таким образом в точке x=-7 находится максимум функции а также наибольшее значение в промежутке [-13,-6]

 

 

$\\y_{max}=(-7+7)^2(-7-1)+6\\ y_{max}=6$

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти критические точки на этом отрезке и сравнить значения функции в этих точках.

Для начала, найдем производную функции y=(x+7)^2(x-1)+6:

y' = 2(x+7)(x-1) + (x+7)^2

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

2(x+7)(x-1) + (x+7)^2 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2x^2 + 14x - 2 + x^2 + 14x + 49 = 0

3x^2 + 28x + 47 = 0

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (28)^2 - 4(3)(47) = 784 - 564 = 220

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня:

x1 = (-28 + √220) / (2*3) ≈ -5.43 x2 = (-28 - √220) / (2*3) ≈ -9.9

Теперь найдем значения функции в этих точках:

y1 = (-5.43 + 7)^2(-5.43 - 1) + 6 ≈ 56.82 y2 = (-9.9 + 7)^2(-9.9 - 1) + 6 ≈ 120.6

На отрезке [-13, -6] наибольшее значение функции равно около 120.6.