Question

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции: Да, я вижу в ней формулу sin2x. В первом решении у меня получился 6, а в повторном -3. Мой ответ равен: Если правильно, то вот в чём вопрос: в задании сказано "преобразуя подынтегральную функции". Вроде подынтегральная запись сильно напоминает какую-то формулу, но какую? Я просто интегрировал так:

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx = \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {6sin(\frac{\pi}{4}-2x)x} \, dx =\\\\=-6\cdot \frac{-1}{2}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}=3\cdot (cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}))=\\\\=3\cdot (cos(-\frac{\pi}{2})-cos0)=3\cdot (0-1)=-3$

2)  Первообразную нашли правильно и подстановку выполнили верно. Может, от вас хотели, чтобы наоборот, синус двойного угла расписали по формуле. Тогда будет такое решение:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} {(2sin2x-1)} \, dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} {(2\cdot 2sinx\cdot cosx-1)} \, dx =\\\\=[\, \int sinx\cdot cosx\, dx=[t=sinx,\; dt=cosx\, dx]=\int t\cdot dt=\\\\=\frac{t^2}{2}+C=\frac{sin^2x}{2}+C\; ]=\\\\=(4\cdot \frac{sin^2x}{2}-x)|_0^{\frac{\pi}{3}}=2sin^2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^2-\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{3}\; .$

$P.S.\int sinx\cdot cosx\, dx=\int sinx\cdot d(sinx)=\frac{sin^2x}{2}+C$

Answer 2

Решение:

Итак, у вас есть интеграл, в котором подынтегральная функция содержит выражение sin^2(x). Вы хотите преобразовать эту функцию, чтобы вычислить интеграл.

Для преобразования подынтегральной функции sin^2(x), мы можем воспользоваться формулой тригонометрического преобразования:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Теперь, используя это преобразование, мы можем переписать подынтегральную функцию:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Теперь можно продолжить с вычислением интеграла.

Вычисление интеграла: ``` ∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx = (1/2) ∫ (1 - cos(2x)) dx = (1/2) ∫ dx - (1/2) ∫ cos(2x) dx = (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C ```

Где C - произвольная постоянная.

Таким образом, ответ на ваш интеграл будет: ``` (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C ```

где C - постоянная. Вы можете использовать полученную формулу для вычисления интеграла с любым конкретным значением x.

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ может отличаться от ваших предыдущих результатов, так как вычисление интеграла является точным процессом, и могут быть различные подходы к его выполнению.