Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x) 1)f(x)=e^x-ex 2)f(x)=2xe^x

Answer 1

1)f(x)=e^x-ex
f`(x)=e^x-e=0
e^x=e
x=1
   _                             +
------------------(1)---------------------
убыв                     возр
2)f(x)=2xe^x
f`(x)=2e^x+2xe^x
e^x*(2+2x)
2+2x=0
2x=-2
x=-1
      _                      +
----------------(-1)--------------
убыв                     возр

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать ее производные. Производная функции показывает, как меняется функция: увеличивается ли она (функция возрастает), уменьшается ли она (функция убывает) или остается постоянной (функция имеет экстремум).

1) \(f(x) = e^x - ex + 2\)

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции \(f'(x)\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - ex + 2)\]

\[f'(x) = e^x - e\]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[e^x - e = 0\] \[e^x = e\] \[x = 1\]

Теперь проведем анализ знаков производной в окрестностях точки \(x = 1\), чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

Для \(x < 1\): \[f'(x) = e^x - e < 0\] Таким образом, функция \(f(x)\) убывает при \(x < 1\).

Для \(x > 1\): \[f'(x) = e^x - e > 0\] Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает при \(x > 1\).

Таким образом, у функции \(f(x) = e^x - ex + 2\) есть убывающий интервал при \(x < 1\) и возрастающий интервал при \(x > 1\).

2) \(f(x) = 2xe^x\)

Для этой функции используем правило произведения и дифференцируем \(f(x)\) по \(x\):

\[f(x) = 2x \cdot e^x\] \[f'(x) = 2x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(2x)\] \[f'(x) = 2x \cdot e^x + 2e^x\]

Вынесем общий множитель \(2e^x\):

\[f'(x) = 2e^x( x + 1)\]

Производная равна нулю при \(x = -1\). Проведем анализ знаков в окрестности \(x = -1\):

Для \(x < -1\): \[f'(x) = 2e^x( x + 1) < 0\] Следовательно, функция \(f(x)\) убывает при \(x < -1\).

Для \(x > -1\): \[f'(x) = 2e^x( x + 1) > 0\] Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает при \(x > -1\).

Итак, у функции \(f(x) = 2xe^x\) есть убывающий интервал при \(x < -1\) и возрастающий интервал при \(x > -1\).

Это анализ позволяет определить промежутки, где функции \(f(x) = e^x - ex + 2\) и \(f(x) = 2xe^x\) возрастают или убывают.